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Solución:
Sintácticamente, los predicados se utilizan para formar fórmulas; Los símbolos de función se utilizan para formar términos.
Los términos luego se traducen a objetos en la estructura, mientras que las fórmulas se evalúan para ser true o false en una estructura y asignación particular.
Desde el punto de vista semántico, hay poca diferencia con respecto a cómo solemos tratar las funciones y relaciones. En el sentido de que una función $n$-aria es solo un predicado $(n+1)$-ario. De hecho, si $F$ es un símbolo de función binaria, entonces $(x,y,z)mid F(x,y)=z$ es una relación ternaria definible en cada estructura.
En el otro sentido si tenemos un predicado $R(x,y)$ y sabemos que en cierta estructura del lenguaje, $M$, cada $u$ tiene exactamente una $v$ tal que $Mmodela R (u,v)$ entonces de hecho $R$ define una función $f_R(u)$, diciendo que “$f_R(u)$ es el único objeto $v$ tal que $R(u,v)$ contiene ” esencialmente escribimos $f_R(u)=v$, y aunque no podemos usar esto para crear términos sintácticos, siempre podemos escribir una fórmula y requerir que una variable satisfaga esta condición, así que efectivamente escribimos $f_R(u)$ .
Es por eso que cuando tratamos con teorías en lugar de estructuras, siempre podemos asumir que los símbolos son relaciones, porque podemos agregar axiomas que especifican que estas relaciones son realmente funciones (o constantes que son funciones constantes, por supuesto, o relaciones que satisface exactamente un objeto) .
Además del enlace anterior ¿Cuál es la diferencia entre un predicado y una función?, es posible que desee leer las distinciones proporcionadas por Wikipedia. Ver, por ejemplo
- predicados, y
- función-predicado, o función.
En resumen, un predicado es una función (estrictamente booleana), pero una función no es necesariamente, y generalmente no es, un predicado.
Un predicado toma uno o más argumentos y se evalúa como un valor booleano: trueo false. Para $x, y in mathbbZ$, $;x leq y,;$ es un predicado: su “salida” es trueo false. $;leq(x, y) mapsto {text{true o falseps
Las funciones toman uno o más “argumentos” (elementos) en un conjunto (del dominio de la función) y asignan un único elemento de otro conjunto (que es el rango de la función). Tenga en cuenta que, a veces, el dominio es el mismo conjunto que el rango. Los argumentos del dominio y los elementos del rango están en el “dominio del discurso”.
Nota: tanto los predicados como las funciones tienen una “aridad” asociada, es decir, la cantidad de argumentos en el dominio que se asignan a cada valor, o elemento, respectivamente, del rango.
Así, por ejemplo, la “aridad” del predicado “x es un loro”: $P(x)$ es uno; la aridad del predicado “y se encuentra entre x y z”: $B(x, y, z)$ es tres. En cada caso la salida es true o false.
La suma de enteros, por otro lado, es una función de aridad dos, que toma dos números como argumentos, digamos $x, y in mathbbZ$ y devuelve un número $z = x + y;in mathbbZ$
Yo diría que: predicado darte true o false basado en sus entradas. Mientras, una función le da una salida por su(s) entrada(s). Entonces, un predicado es una función especial que solo te da “true” o “false”.
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