Solución:
Hay bastantes preguntas y respuestas relacionadas aquí, aquí y aquí. A pesar de eso, no voy a votar para cerrar como duplicado, porque parece que su pregunta es diferente de las otras tres en que está más preguntando qué es una “dimensión física”. La tercera pregunta incluso se responde con más o menos la pregunta que estás haciendo. Relacionada con esta pregunta está la respuesta aquí, que creo que es excelente.
En resumen, los ángulos no son intrínsecamente adimensionales. Son adimensionales por convención. Justificaré esto en un momento.
Ahora. Acerca de la “dimensión física”. Para obtener una definición, consulte aquí.
Sin embargo, creo que “dimensión física” es una mala manera de describir qué son las dimensiones de las unidades. Es más confuso de lo necesario.
Por lo tanto, comenzaré mi respuesta definiendo qué unidades son formal y matemáticamente en primer lugar. Las unidades son una forma de asignar tipos a números. Las unidades tienen su propia aritmética. Se pueden multiplicar y dividir unidades para obtener nuevas unidades compuestas. Por ejemplo $ textrm {m} / textrm {s} = textrm {m} / textrm {s} $ es el tipo de velocidad. O $ textrm {m} cdot textrm {m} = textrm {m} ^ 2 $. También está la unidad de identidad, $ textrm {id} $. Ésta es la unidad de una cantidad adimensional. Para cualquier unidad $ u $, $ u / u = textrm {id} $ o $ textrm {id} cdot u = u $. Por lo general, eliminamos la unidad de identidad de los números cuando escribimos cantidades “sin unidades”, por ejemplo, generalmente escribimos $ 1 textrm {id} $ como solo $ 1 $, pero puede pensar que hay una unidad implícita allí.
Ahora también podemos definir nuevas unidades en términos de las unidades antiguas. Así es como se definen la mayoría de las unidades métricas. Por ejemplo $ textrm {N}: = textrm {kg} cdot textrm {m} / textrm {s} ^ 2 $. Ahora $ textrm {N} $ en realidad es igual a $ textrm {kg} cdot textrm {m} / textrm {s} ^ 2 $, entonces los dos son intercambiables, solo usamos $ textrm {N} $ como abreviatura del tipo compuesto. De manera similar, resulta que definimos $ textrm {rad}: = textrm {m} / textrm {m} = textrm {id} $. En cuanto a por qué lo definimos de esa manera, muchas otras respuestas en esta página y las que he vinculado para responder eso, así que no lo abordaré en profundidad. Brevemente, es porque definimos el radianes para que mida una relación de longitudes. Si $ s $ es la longitud de un arco recortado por un ángulo central de medida en radianes $ theta $ de un círculo de radio $ r $, entonces $ s = r theta $, o $ theta = frac {s } {r} $. Ahora, algunas unidades también tienen una constante frente a las unidades básicas en su definición. Por ejemplo, dado que la fórmula de la longitud del arco cuando $ theta $ se mide en grados se convierte en $ s = frac { pi} {180} r theta $, $ textrm {deg} = 180 / pi textrm {id PS
Ahora, pasemos al punto principal. De hecho, todas las unidades del SI se pueden escribir en términos de siete unidades básicas. ¿Por qué el radián es adimensional a pesar de que mide lo que podría considerarse una cantidad o dimensión física?
Convención. Como se mencionó en esta respuesta, se podría agregar una octava unidad fundamental, por ejemplo, el radián. Entonces la fórmula para la longitud del arco se convertiría en $ s = frac {r theta} { textrm {rad}} $. Todo lo que tenemos que hacer es introducir una nueva constante en la fórmula de la dimensión $ textrm {rad} ^ {- 1} $, y todo funcionará bien. La razón por la que no lo hacemos es que queremos intentar reducir el número de unidades primitivas tanto como sea posible. De manera relacionada, por razones históricas, el mol, que mide la “cantidad de sustancia”, básicamente solo cuenta el número de átomos de esa sustancia presentes, por lo tanto, es algo adimensional. De hecho, hay una propuesta para eliminarlo como una unidad base SI de acuerdo con esta respuesta aquí (tal vez, no está un poco claro cuál es el alcance de la propuesta).
Esencialmente, puede tomar como definición de la dimensión de una unidad que es la forma en que esa unidad se expresa en términos de las unidades básicas del SI (ignorando cualquier constante al frente). Entonces $ textrm {rad} = textrm {id} $ tiene dimensión $ textrm {id} $, y $ textrm {deg} = frac {180} { pi} textrm {id} $ también tiene dimensión $ textrm {id} $. De manera similar, $ textrm {ft} $ tiene dimensión $ textrm {m} $, aunque podríamos expresar esto en inglés en este caso diciendo que tiene dimensiones de longitud.
Ahora bien, podría ser una pregunta natural preguntarse, ¿por qué tenemos todas estas otras unidades entonces si todas pueden expresarse en términos de las unidades básicas? ¿Para qué son buenos?
La respuesta es aproximadamente tres cosas.
- Las unidades realizan un seguimiento de la información semántica adicional. $ 1 textrm {rad} $ es semánticamente diferente de $ 1 textrm {id} $. Sintácticamente se comportan igual en las matemáticas, sin embargo el primero me dice que la cantidad vino de medir algún ángulo. También $ textrm {N} / textrm {m} ^ 2 $ sugiere presión, en comparación con $ textrm {kg} cdot textrm {m} ^ {- 1} cdot textrm {s} ^ { -2} $.
- Brevedad, por supuesto. La definición de nombres y símbolos cortos para las unidades compuestas de uso común hace que las ecuaciones sean más breves y claras. (Este tipo de relación con el punto 1).
- Para evitar que hagamos algo incoherente. No tiene ningún sentido intentar sumar cantidades con diferentes unidades. $ 1 textrm {m} +1 textrm {s} $ no tiene ningún sentido. Esto se puede explicar diciendo que las dimensiones no coinciden, es decir, que las expresiones tienen diferentes unidades básicas del SI. Sin embargo, tampoco deberíamos poder agregar $ 1 textrm {rad} $ y (bueno, la única otra unidad adimensional SI oficial es el estereorradián, así que presentaré la unidad adimensional $ textrm {item} = textrm { id} $ que cuenta una cantidad de algo), $ 1 textrm {item} $. Es decir, $ 1 textrm {rad} +1 textrm {item} $ no debería tener ningún sentido. Por lo tanto, tener otras unidades es útil para evitar que hagamos algo que no tiene sentido con nuestras cantidades.
Editar:
Habiendo escrito esta publicación y leído las referencias que he citado, ahora estoy más a favor de la posición de agregar ángulo y conteo de cosas (en lugar de mole) como dimensiones fundamentales. Pero el objetivo de mi respuesta es que es básicamente arbitrario y se basa en una convención. De hecho, diría que la razón por la que uno no puede agregar $ textrm {item} $ y $ textrm {rad} $ aunque ambos se definen como iguales a $ textrm {id} $ es que debería tener diferentes dimensiones. Por otro lado, siempre que primero convierta a una unidad común, digamos $ textrm {rad} $, puede sumar grados y radianes con sensatez.
Edición 2: para una respuesta en la misma línea, acabo de notar la respuesta aquí.
La circunferencia $ C $ de un círculo está relacionada con su radio $ r $ como $ C = 2 pi r $; por tanto, $ C / r $ corresponde a un ángulo de $ 2 pi $ radianes. Pero la circunferencia y el radio tienen unidades de longitud, por lo que su relación no tiene dimensiones. (Para generalizar esto, considere un arco circular de radio $ r $ y ángulo $ theta $ que tiene una longitud de arco $ s = r theta $). Por lo tanto, una unidad de ángulo debe ser adimensional.