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Solución:
queremos exigir $AB=I$ y $BA=I$ por ningún operadores lineales $A$ y $B$. El segundo es redundante para espacios de dimensión finita pero no en general.
Decir $V$ es el espacio de todas las sucesiones unilaterales $x=(x_1,x_2,puntos)$. Definir $A,B:Va V$ por $$Ax=(x_2,x_3,puntos),$$$$Bx=(0,x_1,x_2,puntos).$$Después $AB=I$ pero $BAne I$.
Entonces: necesitamos la condición para el caso de dimensión infinita, por lo que la razón por la que se incluye en la definición en el caso de dimensión finita es que la definición es la misma en todos los espacios vectoriales.
Incluso para grupos, he visto la definición de un inverso como
$ab=ba=e$, definiendo así la inversa izquierda y derecha. Esto es bastante conveniente y no todas las definiciones tienen que ser “mínimas”.
Por supuesto, el inverso a la izquierda implica también el inverso a la derecha, por lo que sería suficiente requerir solo, digamos, el inverso a la izquierda; consulte, por ejemplo, aquí:
Cualquier conjunto con Asociatividad, Identidad Izquierda, Inversa Izquierda, es un Grupo. – Fraleigh p.49 4,38
La identidad derecha y la inversa derecha implican un grupo.
En particular, esto es válido para el grupo $G=GL_n(K)$.
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