Pudiera darse el caso de que encuentres algún problema en tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes añadir el código al trabajo final.
Solución:
Las formas posibles de juntar polígonos para formar un objeto similar a una esfera están restringidas por la fórmula de Euler $V – E + F = 2$ (donde $V$ es el número de vértices, $E$ es el número de aristas y $ F$ es el número de caras). De manera equivalente, puede pensar en esto como una declaración sobre gráficos planos.
Supongamos que usamos $f_3$ triángulos, $f_4$ cuadrados, $f_5$ pentágonos, etc. Cada arista se encuentra exactamente con dos caras, y una arista de tipo $f_n$ se encuentra con $n$ caras, así que vamos a contar dos veces el número de pares de una arista y una cara al lado: por un lado, esto es $2E$, y por otro lado, esto es
$$3f_3 + 4f_4 + 5f_5 + …$$
Sustituyendo esto en la fórmula de Euler da $V – fracf_3 + 2f_4 + 3f_5 + …2 = 2$. Si además el poliedro es convexo y los polígonos son regular, existen restricciones sobre las caras que pueden encontrarse en cada vértice debido al hecho de que los ángulos deben sumar menos de $360^circ$. (Esta es una forma de probar la clasificación de los sólidos platónicos). Por ejemplo, como máximo $5$ caras pueden encontrarse en cada vértice si permitimos caras arbitrarias; esto significa $3f_3 + 4f_4 + … le 5V$. (Si realmente lo desea, puede permitir que seis triángulos se toquen en un punto, pero lo contaría como un hexágono). Si no permitimos los triángulos, exactamente $3$ caras se encuentran en cada vértice; esto significa $4f_4 + 5f_5 + … = 3V$.
Aquí hay una aplicación en química: un fullereno es un cierto tipo de molécula hecha de átomos de carbono. (Uno de estos, el buckyball, parece un balón de fútbol.) Da un poliedro convexo en el que cada cara es un pentágono regular o un hexágono. Esto da $V – frac3f_5 + 4f_62 = 2$ por un lado, y $3V = 5f_5 + 6f_6$ por el otro. Juntas, estas ecuaciones dan $f_5 = 12$ y $V – 2f_6 = 20$; en otras palabras, cualquier fullereno debe tener exactamente doce pentágonos (Doce teorema del Pentágono para el fullereno).
(Los hexágonos son especiales. Una forma de interpretar este resultado es que un plano infinito se puede teselar con hexágonos, por lo que los hexágonos corresponden a una curvatura cero, mientras que dado que los pentágonos tienen un ángulo más pequeño en cada vértice, corresponden a una curvatura positiva. Lo que dice la afirmación anterior , aproximadamente, es que la cantidad total de curvatura es una constante. Esta es una forma simple del teorema de Gauss-Bonnet, que está estrechamente relacionado con la fórmula de Euler).
Aquí hay algunas otras cosas que puede probar, nuevamente bajo los supuestos de convexidad y regularidad:
- Si solo usa triángulos (a diferencia de triángulos y hexágonos), entonces $f_3 le 20$ y $4 | f_3$.
- Si solo usa cuadrados, entonces $f_4 = 6$.
- No puede usar solo hexágonos o superior. (En la imagen de Gauss-Bonnet, intentar usar heptágonos corresponde a una curvatura negativa, y la curvatura negativa no interactúa bien con la geometría euclidiana o esférica; el escenario natural para juntar heptágonos es, en cambio, la geometría hiperbólica).
Esto ya es la mayor parte del camino hacia la clasificación de los sólidos platónicos. Si está interesado en aprender más sobre la fórmula de Euler, le recomiendo Euler’s Gem de David Richeson. Extremadamente bien escrito e informativo. También puede disfrutar de Diecinueve formas de demostrar la fórmula de Euler de David Eppstein.
La forma del balón de fútbol se puede formar truncando un icosaedro: si se corta cada uno de los 12 vértices, dejará una cara pentagonal y hará que cada una de las 20 caras triangulares se vuelva hexagonal.
Probablemente le interesen los sólidos platónicos, los sólidos de Arquímedes, los sólidos catalanes y algunos de los sólidos de Johnson.