Esta reseña ha sido aprobado por nuestros expertos así garantizamos la exactitud de este enunciado.
Solución:
Primero, como otros han mencionado, la norma del operador tiene muchas propiedades agradables que hacen que sea conveniente usarla en las pruebas (básicamente, el hecho de que, por definición, satisface $| Ax | le | A | |x |$). Podría, por ejemplo, terminar con factores de la norma del operador en varios límites; incluso si no puede calcular la norma del operador, si puede establecer un límite superior o inferior según corresponda, aún puede extraer información de estos límites. Para ver realmente la norma del operador en acción, puede intentar aprender un poco de análisis funcional; realmente comienza a ser útil en el entorno de dimensión infinita.
En segundo lugar, así es como se calcula la norma del operador (editar: cuando $p=2$). Permítanme asumir que $A$ es real por simplicidad, aunque no importa mucho. Desea maximizar $langle Ax, Ax rangle$ como rangos de $x$ en todos los vectores unitarios. Esto es equivalente a maximizar
$$langle A^TA x, x rangle.$$
Ahora, a diferencia de $A$, la matriz $A^TA$ es simétrica y, por lo tanto, según el teorema espectral, tiene una base ortonormal de vectores propios. Estos son los vectores singulares derechos $r_i$ de $A$, y los valores propios correspondientes son los cuadrados $sigma_i^2$ de los valores singulares de $A$ (hasta la aparición de algunos ceros, que no importan para este cálculo). Si escribimos $x$ en esta base como
$$x = sum x_i r_i$$
lo conseguimos
$$langle Hacha, Hacha rangle = sum sigma_i^2 x_i^2$$
donde $langle x, x rangle = sum x_i^2 = 1$. ¡Este es un problema de optimización mucho más fácil! De ello se deduce que $langle Ax, Ax rangle$ se maximiza cuando $x$ es igual a un vector recto singular correspondiente al mayor valor singular $sigma_1$, y que su valor máximo es $sigma_1^2$. Por lo tanto, $sigma_1$ es la norma del operador de $A$. Tenga en cuenta que si $A$ es normal, coincide con el valor absoluto del valor propio más grande (en valor absoluto) de $A$.
El valor singular más grande se puede calcular de varias maneras. Consulte el artículo de Wikipedia sobre la descomposición de valores singulares para obtener más información.
El punto es: en matemáticas puras, en su mayoría no te preocupas por calcular cosas;)
Por supuesto, esto es (en parte) una broma, pero la respuesta es que esta norma tiene muchas propiedades agradables (consulte el análisis funcional) y le permite probar teoremas que facilitarán mucho otros cálculos. El problema es que si quieres definir las cosas para que realmente funcionen para los teoremas (satisfacer alguna buena propiedad universal, etc.), a menudo son bastante difíciles (si no imposibles) de calcular en la práctica. Pero después de todo, la computación no es todo lo que quieres, si los teoremas logran que todo quede mucho más claro.
Una norma de operador es mejor que solo una norma, es una norma de álgebra (no estoy seguro si es el término correcto, en francés lo es). El punto es que la norma satisface: $$forall A,B,|AB|leqslant|A|times|B|.$$