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Solución:
Aunque es posible resolver relaciones de recurrencia no lineales seleccionadas si tiene suerte, en general pueden ocurrir todo tipo de cosas peculiares y difíciles de caracterizar.
Un ejemplo se encuentra en sistemas caóticos. Estos son hipersensibles a las condiciones iniciales, lo que significa que el comportamiento después de muchas iteraciones es extremadamente sensible a pequeñas variaciones en las condiciones iniciales y, por lo tanto, cualquier fórmula que exprese la relación se volverá increíblemente grande. Estas ecuaciones de recurrencia pueden ser asombrosamente simples, con Xn+1 = 4Xnorte(1-Xnorte) con X0 entre 0 y 1 como uno de los ejemplos simples clásicos (es decir, simplemente cuadrático; este es el mapa logístico).
El usuario @Did ya ha dado el ejemplo del conjunto de Mandelbrot, similarmente simple de expresar y similarmente difícil de caracterizar analíticamente (por ejemplo, dando una solución finita de forma cerrada).
Por último, tenga en cuenta que para resolver cada La relación de recurrencia no lineal implicaría que se podría resolver el problema de la detención, ya que se podría codificar un programa como estados iniciales y el funcionamiento de la máquina de Turing como relaciones de recurrencia. Así que es ciertamente inútil en el caso más general. (Qué casos altamente restringidos admiten soluciones sigue siendo una pregunta interesante).
Un ejemplo bastante conocido es el conjunto de Mandelbrot. Considere una secuencia $(a_n)$ definida por $a_0=0$ y $a_n+1=a_n^2+c$, para algún parámetro dado $c$, y haga la pregunta aparentemente inocua:
¿Para qué valores de $c$ está acotada la sucesión $(a_n)$?
Se puede notar que la recursividad es simplemente cuadrática en lugar de afín (el grado de $a_n$ en la fórmula para $a_n+1$ es 2 en lugar de 1). La respuesta, o mejor dicho, algunos elementos de la respuesta, han abierto todo un campo matemático.
Pero la recurrencia polinomial se puede asignar a recurrencias lineales. Por ejemplo, para $a_n+1 = a_n^2 + c$ sea $b_m,n =a_n^m$. Entonces por la fórmula binomial:
$$b_m,n = (a_n-1^2+c)^m = sum_j = 0^mc^mjm elegir ja_n-1^ 2j = sum_j = 0^mc^mjmelegir jb_2j,n-1$$
y aunque es una recurrencia lineal de dos variables, puede usar muchos de los mismos tipos de estrategias para resolverlo como si fuera una variable (de hecho, para cualquier número de variables puede usar los mismos enfoques como si fuera una variable). ¿Así que cuál es el problema?
Más adelante puedes encontrar las explicaciones de otros creadores, tú igualmente eres capaz insertar el tuyo si lo deseas.