Mantén la atención ya que en esta división encontrarás la contestación que buscas.
Solución:
Probablemente pueda encontrarlo en algún lugar en línea, pero para completar, aquí hay una derivación de la forma cerrada familiar para $ C_n $ de la recurrencia $$ C_n = sum_ k = 0 ^ n-1 C_kC_ n-1-k etiqueta 0 $$ y el valor inicial $ C_0 $, vía la función generadora ordinaria. Luego, como en la respuesta de Mhenni Benghorbal, puede (descubrir y) verificar fácilmente la recurrencia de primer orden. No veo ninguna forma agradable de obtenerlo directamente desde $ (0) $.
Sea la función generadora ordinaria para los números catalanes
$$ c (x) = sum_ n ge 0 C_nx ^ n = sum_ n ge 0 sum_ k = 0 ^ n-1 C_kC_ n-1-k x ^ n ;. $$
Entonces, como $ C_0 = 1 $, tenemos
$$ begin align * c (x) & = sum_ n ge 0 sum_ k = 0 ^ n-1 C_kC_ n-1-k x ^ n \ & = 1+ sum_ n ge 1 sum_ k = 0 ^ n-1 C_kC_ n-1-k x ^ n \ & = 1 + x sum_ n ge 0 sum_ k = 0 ^ nC_kC_ nk x ^ n \ & = 1 + x left ( sum_ n ge 0 C_nx ^ n right) ^ 2 \ & = 1 + xc (x) ^ 2 ;, end align * $$
o $ xc (x) ^ 2-c (x) + 1 = 0 $. La fórmula cuadrática produce
$$ c (x) = frac 1 pm sqrt 1-4x 2x ;, etiqueta 1 $$
y desde
$$ lim_ x to 0 c (x) = lim_ x to 0 sum_ n ge 0 C_nx ^ n = C_0 = 1 ;, $$
está claro que debemos elegir la raíz cuadrada negativa en $ (1) $, de modo que
$$ c (x) = frac 1- sqrt 1-4x 2x ;. $$
Ahora aplique el teorema del binomio a $ sqrt 1-4x $:
$$ begin align * left (1-4x right) ^ 1/2 & = sum_ n ge 0 binom 1/2 n (-4x) ^ n \ & = sum_ n ge 0 frac left ( frac12 right) left (- frac12 right) left (- frac32 right) puntos left (- frac 2n-3 2 right) n! (- 4x) ^ n \ & = sum_ n ge 0 (- 1) ^ n-1 frac (2n-3) !! 2 ^ nn! (- 4x) ^ n \ & = – sum_ n ge 0 frac 2 ^ n (2n-3) !! n! X ^ n \ & = – 2 sum_ n ge 0 frac 2 ^ n-1 prod_ k = 1 ^ n-1 (2k-1) n (n-1)! X ^ n \ & = – 2 sum_ n ge 0 frac 2 ^ n-1 (n-1)! Prod_ k = 1 ^ n-1 (2k-1) n (n-1)! ^ 2 x ^ n \ & = – 2 sum_ n ge 0 frac left ( prod_ k = 1 ^ n-1 (2k) derecha) izquierda ( prod_ k = 1 ^ n-1 (2k-1) derecha) n (n-1)! ^ 2 x ^ n \ & = – 2 sum_ n ge 0 frac (2n-2)! n (n-1)! ^ 2 x ^ n \ & = – 2 sum_ n ge 0 frac1n binom 2 ( n-1) n-1 x ^ n ;, end align * $$
donde el término constante es $ 1 $ y, por lo tanto, el término constante en la suma es en realidad $ – frac12 $. Por lo tanto,
$$ begin align * c (x) & = frac1 2x left (1 + 2 left (- frac12 + sum_ n ge 1 frac1 n binom 2 (n -1) n-1 x ^ n right) right) \ & = sum_ n ge 1 frac1n binom 2 (n-1) n-1 x ^ n-1 \ & = sum_ n ge 0 frac1 n + 1 binom 2n nx ^ n ;, end align * $$
y tenemos la forma cerrada familiar $ C_n = dfrac1 n + 1 dbinom 2n n $.
Un problema relacionado. Es más fácil demostrarlo usando la identidad.
$$ C_n = frac 1 n + 1 2n elige n = frac (2n)! (N + 1)! , N! Implica C_ n-1 = frac (2 (n-1))! (n)! , (n-1)! $$
$$ frac C_n C_ n-1 = frac (2n) (2n-1) (2n-2)! (n-1)! (n + 1) n (n-1)! (2n-2)! = frac 2 (2n-1) n + 1 $$
$$ implica C_n = frac 2 (2n-1) n + 1 C_ n-1. $$
Adicional: Encontraremos la función generadora ordinaria. Sea $ g (x) = sum_ n = 0 ^ infty C_ n x ^ n $
$$ C_ n + 1 = Displaystyle sum_ i = 0 ^ n C_ i C_ n – i implica sum_ n = 0 ^ infty C_ n + 1 x ^ n = sum_ n = 0 ^ infty sum_ i = 0 ^ n C_ i C_ n – i x ^ n $$
$$ implica sum_ n = 1 ^ infty C_ n x ^ n-1 = sum_ i = 0 ^ infty C_i sum_ n = i ^ infty C_ ni x ^ n = sum_ i = 0 ^ infty C_i sum_ n = 0 ^ infty C_ n x ^ n + i $$
$$ implica frac 1 x sum_ n = 0 ^ infty C_ n x ^ n – frac C_0 x = sum_ i = 0 ^ infty C_ix ^ i sum_ n = 0 ^ infty C_ n x ^ n $$
$$ implica frac g (x) x – frac 1 x = g (x) g (x) = g (x) ^ 2 $$
$$ implica g (x) ^ 2- frac g (x) x + frac 1 x = 0. $$
Nota: Esta respuesta es simplemente una pequeña variación de las respuestas ya dadas. El derivación de la función generadora de los números en catalán es algo diferente, lo que puede ser conveniente para el lector.
Lo siguiente es válido: la relación de recurrencia begin align * C_ 0 = 1, C_ n = displaystyle sum_ i = 0 ^ n – 1 C_ i C_ n – i – 1 qquad (n geq 1) tag 1 end align * especifica el Números catalanes
begin align * qquad qquad frac 1 n + 1 binom 2n n qquad qquad (n geq 0) tag 2 end align *
Nota: La conexión entre la fórmula cerrada (2) y la fórmula indicada en la pregunta se da al comienzo de la respuesta de @MhenniBenghorbal.
Función generadora para $ C_n $:
Al observar la relación de recurrencia, vemos que $ sum_ i = 0 ^ n – 1 C_ i C_ n – i – 1 $ es un Producto Cauchy. Dado que los productos de Cauchy ocurren al multiplicar series, parece natural trabajar con las siguientes funciones generadoras:
begin align * C (z) = sum_ n geq 0 C_nz ^ n qquad text y qquad C ^ 2 (z) = sum_ n geq 0 left ( sum_ i = 0 ^ n C_iC_ ni right) z ^ n tag 3 end align *
Deje $[z^n]$ denota el operador de coeficiente. Observamos con la ayuda de (1) y (3):
begin align *
[z^n]C (z) & = C_n \ & = sum_ i = 0 ^ n-1 C_iC _ (n-1) -i \ & =[z^n-1]C ^ 2 (z) \ & =[z^n]zC ^ 2 (z) qquad qquad qquad (n geq 1) \ \
[z^0]C (z) & = C_0 = 1 \ end align *
Por lo tanto obtenemos
begin align * C (z) = zC ^ 2 (z) + C_0 = zC ^ 2 (z) +1 end align *
y resolver la ecuación cuadrática da
begin align * C_ 1,2 (z) = frac 1 2z left (1 pm sqrt 1-4z right) end align * Desde la expansión de $ sqrt 1-4z = 1-2z- ldots $ y $ C (z) = sum_ n geq 0 C_nz ^ n $ es un serie de potencia en $ z $ concluimos que la siguiente solución es válida:
begin align * C (z) = frac 1 2z left (1- sqrt 1-4z right) end align *
Ahora:
Cálculo de $ C_n $:
Con la ayuda de la conocida identidad binomial $$ binom frac 1 2 n = frac (- 1) ^ n + 1 4 ^ n (2n-1) binom 2n n $$ obtenemos begin align * C_n & =[z^n] frac 1 2z left (1- sqrt 1-4z right) \ & = – frac 1 2[z^n+1] sqrt 1-4z \ & = – frac 1 2[z^n+1] sum_ n geq 0 binom frac 1 2 n left (-4z right) ^ n \ & = – frac 1 2 binom frac 1 2 n + 1 left (-4 right) ^ n + 1 \ & = frac 1 2 frac 1 2n + 1 binom 2n + 2 n + 1 \ & = frac 1 2 frac 1 2n + 1 frac (2n + 2) (2n + 1) (n +1) ^ 2 binom 2n n \ & = frac 1 n + 1 binom 2n n end align *
Nos encantaría que puedieras comunicar este ensayo si te valió la pena.