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Solución:
Dejaré la explicación de los grandes cardenales a alguien con más conocimientos y explicaré un lugar donde son útiles para ordenar las cosas: la teoría de categorías. En la teoría de categorías, te enfrentas constantemente a clases propias (la categoría de todos los conjuntos, de todos los grupos, etc.). Para empeorar las cosas, desea formar categorías de funtores, pero debido al tamaño de las clases involucradas, no hay forma de hacerlo en ZFC (y otras teorías de conjuntos como NBG o MK pronto chocaron con sus propias paredes). El axioma de los universos de Grothendieck es un gran axioma cardinal (y me han dicho que es bastante suave en comparación con los grandes cardinales que los teóricos de los conjuntos consideran habitualmente) que nos permite ordenar las cosas para esta y otras construcciones sin prestar atención a los tamaños de los conjuntos. A decir verdad, esto es principalmente una conveniencia, como si uno prestara la debida atención, ya costa de circunloquios (y grandes tribulaciones) uno pudiera evitarlos. Pero realmente, ¿por qué tomarse todas estas molestias para resolver lo que es un tecnicismo menor que no guarda relación con el problema en cuestión, cuando tiene a mano este dispositivo que ahorra trabajo?
La respuesta específica de G. Rodrigues aborda el problema general: los cardinales grandes se utilizan para examinar cuánto más se puede probar en la teoría de conjuntos ZFC. La primera vez que descubrí cardenales grandes (en el libro de Jech de 2000 Teoría de conjuntos), Estaba impresionado. Después de todo, un cardinal grande es solo un conjunto “muy grande”, pero no me di cuenta de que la existencia de tal conjunto cambiaba la naturaleza de lo que era matemáticamente demostrable. Por ejemplo, está, según Jech, el evento que lo inició todo: el trabajo de Ulam en el problema de medida. Es bien sabido que la medida de Lebesgue sobre los reales no está definida para todos los conjuntos, pero resulta indecidible en ZFC solo si ningún medida no trivial sobre los reales existe en absoluto. Para obtener tal medida, se debe suponer la existencia de un gran cardenal, que ahora se llama cardenal. cardenal medible. Así que pienso en los grandes cardenales como cosas que cambian la naturaleza misma de la “plomería” matemática. Cosas profundas.
En un nivel más práctico, creo que fue Dudley quien dijo que los cardenales grandes pueden ser útiles para ver por qué falla una prueba: si una prueba no funciona, ver si falla en un cardenal grande puede proporcionar una idea.
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