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Solución:
Por lo tanto, sabemos por las matemáticas inversas que casi todos los teoremas del “pan y mantequilla” son, adecuadamente codificados, demostrables en subsistemas teóricamente débiles de la aritmética de segundo orden. Si un teorema es demostrable en un sistema cuya prueba teórica ordinal es $ alpha $, entonces, en cierto sentido, ordinales mayores que $ alpha $ no es necesario que entre en su prueba.
El teorema de Goodstein, mencionado en los comentarios, no se puede probar en PA, por lo que de alguna manera los ordinales hasta $ epsilon_0 $ son “necesarios” en su prueba. Pero la inducción hasta $ epsilon_0 $ se puede expresar de una manera muy no ordinal: la consistencia de PA + todos true $ Pi_1 $ oraciones implica el teorema de Goodstein, por lo que no estoy seguro de que haya una manera satisfactoria de formular la afirmación de que los ordinales son “necesarios” en su demostración, en el sentido de Gowers de “necesario” (es decir, tenemos que enseñar a alguien sobre los ordinales antes de que tengan posibilidad de comprender alguna prueba del teorema).
Seguro que parece que necesita usar ordinales para demostrar el teorema de Cantor-Bendixson (cada conjunto cerrado de reales es la unión de un conjunto contable y un conjunto perfecto) y, de hecho, el ordinal de la teoría de la prueba necesario para el mathing inverso es relativamente alto , a saber $ Gamma_0 $. [I take this back! An ordinal-free proof is given in William’s answer here.] El teorema del grafo menor “necesita” ordinales aún más grandes, en el sentido de que no se puede probar en sistemas cuyo ordinal de la teoría de la demostración sea menor que (creo) el ordinal de Veblen pequeño.
Aquí hay un ejemplo de la teoría del operador que califica (al menos parcialmente): Teorema de ABLV.
Una versión del mismo dice lo siguiente:
Teorema ABLV. Dejar $ T $ ser un operador lineal acotado en un espacio de Banach $ E $ y asumir que $ T $ es poder limitado en el sentido de que $ sup_ n in mathbb N | T ^ n | < infty $.
Supongamos que el espectro $ sigma (T) $ de $ T $ intersecta el círculo unitario complejo $ mathbb T $ como máximo en un conjunto contable, y que el operador dual $ T ‘$ sobre $ E ‘$ no tiene valores propios en $ mathbb T $. Luego $ T ^ nx a 0 $ como $ n a infty $ para cada $ x en E $.
El teorema es de 1988 y se llama teorema ABLV porque fue probado de forma independiente por los siguientes pares de autores:
[1] Wolfgang Arendt y Charles Batty: “Teoremas tauberianos y estabilidad de semigrupos de un parámetro”, Transacciones del AMS, 1988.
[2] Yu. I. Lyubich & Vu Quôc Phóng: “Estabilidad asintótica de ecuaciones diferenciales lineales en espacios de Banach”, Studia Mathematica, 1988.
(En realidad, ambos artículos se centraron en un $ C_0 $-versión de grupo secundario de la misma; vea los comentarios al final de esta publicación).
Intentaré esbozar la idea principal de la prueba en [1] como Wolfgang Arendt me lo explicó una vez: es necesario (a) usar un teorema de Tauber para las transformadas de Laplace con valores vectoriales y (b) eliminar sucesivamente puntos de $ sigma (T) cap mathbb T $ mediante un procedimiento de inducción hasta que el espectro ya no se cruce con el círculo unitario.
El punto sobre el segundo paso es que, dado que el espectro está cerrado, la eliminación de puntos solo puede funcionar si estos puntos están aislados en el espectro, por lo que solo se enumeran el conjunto contable $ sigma (T) cap mathbb T $ y eliminar sucesivamente cada punto no funciona. En cambio, se usa inducción transfinita sobre ordinales contables:
En un conjunto contable compacto no vacío, como $ sigma (T) cap mathbb T $ – siempre existe al menos un punto aislado, por lo que puede eliminar sucesivamente dichos puntos aislados $ omega $-muchas veces (a menos que solo haya un número finito de valores espectrales, en cuyo caso el espectro está vacío después de un número finito de pasos). Luego te quedas de nuevo con un conjunto compacto contable, y repite.
Observaciones.
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Por supuesto, las cosas no son tan simples como las describí (por ejemplo, los puntos que están aislados en $ sigma (T) cap mathbb T $ no necesita estar aislado en $ sigma (T) $ – así que aquí ya puede ver que no puede simplemente “eliminarlos” del espectro). Aún así, de alguna manera, esta parece ser la idea intuitiva detrás de esto.
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Arendt revisa este teorema y enfoca explícitamente la discusión sobre la inducción transfinita sobre conjuntos contables en el siguiente artículo:
[3] W. Arendt: “Espectro contable, inducción transfinita y estabilidad”, Teoría del operador: avances y aplicaciones, 2015.
En [3, Section 5] También hay una discusión sobre la singularidad de las series trigonométricas que se remonta a Cantor y que también usa inducción transfinita sobre conjuntos contables. Entonces esta es otra respuesta a la pregunta del OP.
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De hecho, el teorema ABLV generalmente se establece y se prueba para $ C_0 $-semigroups en lugar de para operadores únicos (por ejemplo, [2] se ocupa únicamente de la $ C_0 $-semigrupo caso). La versión de un solo operador indicada anteriormente se puede encontrar en [1, Theorem 5.1].
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¿Por qué el teorema ABLV es solo una respuesta parcial? Bueno, también hay [2], por supuesto, donde los autores utilizaron una técnica diferente para llegar al mismo resultado. (Por cierto, en el popular $ C_0 $-semigrupo libro de Engel y Nagel, el teorema ABLV se demuestra empleando la técnica de [2].)
Estoy seguro de que no entiendo bien esta pregunta, ya que mi impresión es que la inducción transfinita y los ordinales son necesarios todo el tiempo y, a menudo, las longitudes son contables en casos prácticos.
Sin embargo, no puedo resistirme a mencionar uno de mis resultados favoritos en dinámica simbólica, a saber, un teorema de “Aspectos estructurales de los mosaicos” de Ballier-Durand-Jeandel. Es uno en el que no conozco una buena manera de eliminar el uso de ordinales contables. Por topología básica, cada $ mathbb Z ^ 2 $-subshift (subconjunto invariante de turno cerrado de $ A ^ mathbb Z ^ 2 $ por $ A $ conjunto finito) es finito, numerablemente infinito o tiene la cardinalidad del continuo. Demuestran un resultado interesante sobre el caso contable.
Primero algunas definiciones. Si $ A $ es un conjunto finito, decimos $ X subconjunto A ^ mathbb Z ^ 2 $ es un subdesplazamiento de tipo finito o SFT si existe un conjunto cerrado $ C subconjunto A ^ mathbb Z ^ 2 $ tal que
$$ X = x in A ^ mathbb Z ^ 2 ; $$
dónde $ sigma ^ vec v (x) _ vec u = x _ vec v + vec u $ es la acción de cambio. (Es lo mismo que decir que está definido por un número finito de patrones prohibidos). Una SFT es contablemente infinito si tiene innumerables configuraciones infinitas. Llamamos elementos $ x en X $configuraciones. Una configuración $ x en X $ es periódico único si el estabilizador de punto $ vec v in mathbb Z ^ 2 ; leq mathbb Z ^ 2 $ no es trivial pero no de índice finito.
Dejar $ X subconjunto A ^ mathbb Z ^ 2 $ ser un subdesplazamiento de tipo finito que es numerablemente infinito. Luego $ X $ contiene una configuración periódica única.
La prueba es bastante interesante y la esbozaré tal como la recuerdo; hay muchos pasos, por lo que esto puede ser demasiado rápido de seguir, pero al menos uno ve en el resumen que realmente se habla de los ordinales y su relación de sucesor además del argumento de Cantor-Bendixson. Puede encontrar los detalles en el documento Ballier-Durand-Jeandel.
Primero, define las derivadas de Cantor-Bendixson $ X ^ ( gamma) $ para todos los ordinales $ gamma $ de la forma habitual. Ya que $ X $ es contable y compacto tienes $ X ^ ( gamma) = juego vacío $ para algunos $ gamma $ (o encuentra un subconjunto perfecto que contradice la contabilidad), y dado que la topología es contable en segundo lugar, esto sucede para un ordinal contable $ gamma $.
Ahora analicemos $ gamma $. Debe ser un sucesor ordinal, ya que de lo contrario $ juego vacío $ es una intersección de conjuntos no vacíos que contradicen la compacidad. Entonces $ gamma = beta + 1 $ para algunos $ beta $. Ya que $ X ^ ( beta) $ tiene una derivada de Cantor-Bendixson vacía, tiene que ser finita. Pero es clásico que un subdesplazamiento finito es un subdesplazamiento de tipo finito, y también es clásico que los SFT tienen la propiedad de “compacidad” de que un SFT no puede ser la intersección de una cadena estrictamente descendente de subdesplazamientos (es un “grupo generado finitamente no puede ser un argumento de estilo de unión estrictamente creciente de subgrupos). De esto deducimos que también $ beta = alpha + 1 $ debe ser un sucesor ordinal. Claramente $ X ^ ( alpha) $ es numerablemente infinito.
A continuación, analizamos $ X ^ ( alpha) $ (allí encontraremos nuestras configuraciones periódicas individuales). Se sabe que un $ mathbb Z ^ 2 $-subshift es finito si y solo si cada configuración tiene un estabilizador de índice finito, por lo que alguna configuración $ X ^ ( alpha) $ tiene estabilizador de índice infinito. Dejar $ x $ ser tal configuración, y dejar $ V leq mathbb Z ^ 2 $ sea su estabilizador.
Ahora basta para mostrar que no podemos tener $ | V | = 1 $: Supongamos por una contradicción que teníamos. Observa que todo $ sigma ^ vec v (x) $ son distintos, por lo que cualquier punto límite de tales cambios está en $ X ^ ( beta) $. Entonces por cada $ epsilon> 0 $, cada cambio $ sigma ^ vec v (x) $ con $ | vec v | $ lo suficientemente grande está a la distancia como máximo $ epsilon $ de la SFT $ X ^ ( beta) $.
Ya que $ X ^ ( beta) $ es finito, tiene un estabilizador puntual de índice finito, generado por algunos no colineales $ vec u_1, vec u_2 in mathbb Z ^ 2 $. Dado que todos los puntos límite de $ x $ tener que estar en $ X ^ ( beta) $, Debemos tener $ x _ vec v = x _ vec v + vec u_1 = x _ vec v + vec u_2 $ para todos $ | vec v | $ lo suficientemente grande (de nuevo, de lo contrario, tenemos infinitos cambios distintos $ sigma ^ vec v (x) $ y podemos extraer un punto límite que no está fijado por $ sigma ^ vec u_1 $ y $ sigma ^ vec u_2 $, por lo tanto no está en $ X ^ beta $).
Concluimos que si $ x $ no tiene estabilizador de índice finito, entonces $ x $ es periódica, aparte de un área finita de “ruptura de período”, y dado que $ X $ es un SFT, es fácil ver que es incontable, ya que podemos pegar estos interruptores de período por todas partes $ x $ y no veremos ningún problema con la definición del conjunto clopen $ C $, ya que un conjunto de este tipo solo verá la imagen local. (Estoy siendo muy rápido aquí, aquí quizás necesite trabajar un poco y hacer un dibujo o leer el periódico).
Entonces $ x $ tiene estabilizador infinito que no es de índice finito, es decir $ x $ es individualmente periódica. Cuadrado.
(Hay algunas caracterizaciones también para las otras cardinalidades. A $ mathbb Z ^ 2 $-subshift es finito si y solo si cada configuración tiene un estabilizador de índice finito. En otro artículo llamado “Estructuración de subdesplazamientos multidimensionales”, Ballier y Jeandel también dan una caracterización de incontables SFT, pero me saltearé eso).
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