Clara, parte de nuestro staff, nos ha hecho el favor de redactar esta crónica ya que domina perfectamente este tema.
Solución:
Para aplicar el teorema de Noether, que es a lo que te refieres aquí, uno necesita mirar las simetrías continuas de un Lagrangiano descripción de la dinámica de un sistema.
La ecuación de oscilación amortiguada que has escrito, aunque es invariante con respecto a una traslación temporal como bien dices, no es una descripción lagrangiana. Si escribe el Lagrangiano para este sistema, encontrará que no es invariante con el cambio de tiempo, por lo que esta falta de simetría es donde su argumento implícito (“mi descripción no depende del tiempo $rightarrow$ se conserva la energía”) se rompe abajo.
Alguno los sistemas disipativos tienen descripciones lagrangianas, pero siempre terminan con lagrangianos variables en el tiempo, por lo que no hay contradicción con el teorema de Noether: vea la respuesta de Joseph Johnson y el enlace para leer sobre algunos intentos históricos interesantes para ampliar la noción lagrangiana a todos los sistemas aquí.
Por cierto, si desea modelar este tipo de cosas en la mecánica cuántica, una forma de hacerlo es incrustar su oscilador en un gran conjunto de osciladores mecánicos cuánticos acoplados donde su oscilador inicialmente excitado está débilmente acoplado a todos los demás. El sistema como un todo varía unitariamente con el tiempo, por lo que no hay disipación general, pero si un oscilador comienza en un estado elevado con todos los demás en su estado fundamental, la amplitud para encontrar el oscilador en su estado excitado disminuye exponencialmente con el tiempo y la la energía se esparce inexorablemente por todo el sistema de osciladores, una hermosa ilustración de un sistema simple macroscópicamente “irreversible” (pero microscópicamente reversible). En teoría, también puede hacer lo mismo con un oscilador armónico clásico: incrustarlo en un gran sistema de osciladores y acoplarlo débilmente a una gran reserva de otros: sucede lo mismo. El oscilador por sí solo sigue una ecuación amortiguada, aunque el sistema completo no es disipativo.
La conservación de la energía está relacionada con la invariancia de la traducción del tiempo. para sistemas que pueden ser descritos por un Lagrangiano. Los sistemas disipativos en general no son descriptibles por la mecánica lagrangiana (sin alterar el formalismo que sí lo es) y, por lo tanto, el teorema de Noether no se puede aplicar para verificar si la energía se conserva o no.
EDITAR: el sistema disipativo al que se refiere el OP admite lagrangianos que permiten recuperar la ecuación de movimiento correcta como lo señaló Valter Moretti, pero luego las hipótesis bajo las cuales se sostiene el teorema de Noether no se cumplen con tales lagrangianos.
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