Solución:
En los instrumentos musicales, ninguna de las excitaciones, ya sea por inclinación, punteo, vibración de lengüeta, vibración de labios, golpes, etc., son métodos sinusoidales. Por lo tanto, todos, según el teorema de Fourier, están compuestos por múltiples frecuencias de ondas sinusoidales. Si una o más de estas frecuencias corresponde a las frecuencias de resonancia del instrumento, la energía de esos componentes persistirá más tiempo que otras frecuencias. Si la energía continúa entrando en el instrumento, las frecuencias de resonancia persistirán, dando lugar al tono musical continuo.
Incluso un golpe breve, como un mazo, tiene un comportamiento temporal y se asemeja a un pulso cuadrado, de diente de sierra o triangular, puede verse como un pulso de múltiples frecuencias. No es necesario que sea un tren de períodos múltiples. Un solo pulso induce la función de forzado. Si afecta al objeto depende de la mojadura del objeto. Considere el golpe de un tímpano (amortiguación baja) versus un tambor (amortiguación más alta).
Algunos métodos de excitación, especialmente las boquillas y lengüetas de instrumentos de metal, comienzan el tono con múltiples frecuencias, luego la onda reflejada en el instrumento crea un bucle de retroalimentación, bloqueando los labios o la lengüeta en las frecuencias resonantes del instrumento. Esto es especialmente importante para los músicos de metales, que pueden practicar con una boquilla tocando solo una melodía cercana a los tonos reales de la música. De esa manera, se ajustan para optimizar la retroalimentación de frecuencia.
El violín (y otros) con acción de arco se excita con una acción de “agarrar y soltar” del pelo de caballo recubierto de resina en la cuerda. La acción se asemeja mucho a una acción continua de desplume de una onda de diente de sierra. La longitud, la tensión, el material y el grosor de la cuerda determinan las frecuencias de resonancia de la cuerda, mientras que la onda de diente de sierra, según el teorema de Fourier, introduce frecuencias más que suficientes en la cuerda. Los que coinciden con las frecuencias resonantes persisten, mientras que los que no coinciden se amortiguan muy rápidamente.
Entonces, para una explicación más precisa, tiene un oscilador armónico con algún tipo de término de arrastre y algún tipo de fuerza,
$$ frac { mathrm d ^ 2x} { mathrm dt ^ 2} = -2 lambda frac { mathrm dx} { mathrm dt} – omega_0 ^ 2 x
Ejercicio 1: demuestre que si $ F
Ejercicio 2: demuestre que si conduce con una fuerza periódica $ F
Ejercicio 3: ¿cómo se ve la ecuación diferencial en el espacio de Fourier? El ejercicio (2) impulsó el sistema con $ F ( omega) = A delta ( omega- Omega) $ dónde $ delta $ Cuál es la función delta de Dirac, ¿ves los resultados básicos del ejercicio 2 en el espacio de Fourier? Si vemos este resultado como multiplicar la fuerza del espacio de frecuencia por una función compleja, ¿cómo se ve la gráfica de su valor absoluto? Especialmente, cuando el factor de calidad $ Q = omega_0 / (2 lambda) $ es grande, ¿cómo ves este gráfico? Además, a partir de su experiencia con las guitarras y cuánto tiempo “suena” una cuerda en comparación con la frecuencia que toca, qué tipo de $ Q $-factor es razonable para instrumentos musicales?
Ejercicio 4: ¿cuál es la transformada de Fourier de una distribución normal con desviación estándar? $ sigma $, es decir $ f (x) = e ^ {- x ^ 2 / (2 sigma ^ 2)} / sqrt {2 pi sigma ^ 2} $? Cual es su ancho?
Una vez que haya completado estos ejercicios básicos, tal vez pueda completar la explicación usted mismo. Como diría yo, una fuerza corta y aguda es como una gaussiana con una desviación estándar muy pequeña. Esto lo hace muy amplio en el espacio de frecuencias, lo que podemos interpretar como que tiene muchas frecuencias diferentes. Pero vimos en el ejercicio 3 que existe esta función de susceptibilidad con un pico alrededor $ omega_0 $ y entonces esas son las partes de frecuencia de la fuerza impulsora que el sistema va a captar más, particularmente si es un alto$ Q $ resonador. Su respuesta está en este pequeño pico alrededor de alguna frecuencia y amortigua todos los demás componentes a cero. (De hecho, si miras hacia arriba $ Q $-factor en Wikipedia, verá que una definición común es el ancho del pico de resonancia en el espacio de frecuencia, dividido por la frecuencia del pico. As que esta es casi la definicin de un$ Q $ resonador.)
Advertencias
Si bien creo que lo anterior responde a su pregunta, puede ser algo peligroso asumir que automáticamente sabemos todo por saber la cosa más pequeña. Tenga en cuenta que este sistema es muy simple, no tiene múltiples modos en varias frecuencias y, en muchos otros aspectos, no es “real”.
Probablemente las generalizaciones más fáciles son los modelos de elementos finitos, por lo que configura un montón de masas a lo largo de algunos $ y $-coordinar con posiciones $ x_i
por lo que el análisis se liga un poco con esta matriz tridiagonal $$ begin {bmatrix} 2 & -1 & 0 & cdots \ -1 & 2 & -1 & cdots \ 0 & -1 & 2 & cdots \ vdots & vdots & vdots & ddots end {bmatrix} $$
y el proceso de diagonalizar esta matriz se llama más formalmente encontrar los “modos normales” del sistema. Este análisis de “modos normales” no es solo la base del software de ingeniería mecánica, sino que lo he visto mucho en los cálculos de química cuántica, y enfoques similares pueden ser útiles en otras ocasiones, por lo que aprender ecuaciones diferenciales que tienen algunas matrices incluidas puede ser útil. muy gratificante.
Pero también puede que te guste la “ecuación de onda de cuerda” 2d completa que simplemente reemplaza el término de diferencia finita anterior con
$$ frac { parcial ^ 2y} { parcial t ^ 2} = -2 lambda frac { parcial y} { parcial t} + omega_0 ^ 2 frac { parcial ^ 2y} { parcial x ^ 2}. $$ Esto se lanza a una discusión sobre ecuaciones de onda de manera más general. En particular, obtienes estos picos de resonancia en $ omega_0,2 omega_0,3 omega_0, dots $ pero todo tiene que ver con las condiciones de contorno en los lados de la cuerda, a medida que se forman ondas estacionarias en ella.
Si tienes una guitarra, es posible que hayas notado que la ecuación de onda de la cuerda asume que la tensión en las cuerdas se mantiene constante, pero en realidad la amplitud de las oscilaciones reales es suficiente para estirar la cuerda, por lo que la cuerda suena como “byoooowwww”, más alto en tono al principio y tono más bajo al final. Esta es una fundamental no linealidad que debe agregarse a la ecuación de onda de la cuerda anterior. De manera más general, muchos instrumentos lineales se entienden mejor como un sistema lineal pero acoplado a un sistema no lineal, para lo cual Fletcher proporciona un artículo realmente bueno (advertencia en PDF).
El arco tira de la cuerda hasta que la tensión excede la fuerza de fricción y la cuerda salta a su posición inicial, para ser jalada nuevamente por el arco. Esto sucede varias veces durante un movimiento completo del arco. La frecuencia de las oscilaciones resultantes está determinada por los modos propios de la cuerda (modos normales en el lenguaje OP), que suelen ser las fracciones enteras de su longitud. Es controlando la longitud de la cuerda que el músico cambia la frecuencia del sonido.
Esto no es lo que yo llamaría oscilaciones forzadas – más bien estamos tratando aquí con generando oscilaciones (que en sí mismo es algo importante, pero a menudo más complejo matemáticamente que un oscilador forzado). Las oscilaciones forzadas, por otro lado, son oscilaciones debidas a la fuerza periódica, que en consecuencia se producen a la frecuencia de esta fuerza impulsora en lugar de con las frecuencias propias del oscilador. Lo mismo puede decirse de un tubo / trompeta o un diapasón / guitarra. Las oscilaciones se crean de manera diferente en todos estos casos, pero en ninguno de ellos son creadas por una fuerza periódica.