Encontramos el resultado a esta incógnita, al menos eso creemos. Si presentas alguna inquietud dínoslo, que con gusto te ayudaremos
Solución:
Tenga en cuenta que dado que los eventos de dados son independientes y cada dado es justo (ningún lado es más probable que el otro), lanzar un dado varias veces equivale a lanzar varios dados a la vez.
Entonces, si tirar un dado $n$ veces, o $n$ dados a la vez, cada permutación es tan probable como la siguiente. Para cinco dados de seis caras hay $6^5$ resultados posibles. De aquellos $7776$ posibilidades sólo uno es cinco 1’s. Eso es aproximadamente un 0,0129% de probabilidad de obtener cinco 1.
Cualquier otra secuencia tiene la misma probabilidad. Cinco 2, cinco 3, cinco 4, cinco 5, todos 6, 1-2-3-4-5-6, 6-5-4-3-2-1, 1-3-2-4-5-6 , 1-4-2-3-5-6, etc. todos tienen una probabilidad del 0,0129 %.
Pero si solo importa la combinación (cualquier orden, como una mano de póquer) y no la permutación (un orden específico, como un candado de combinación), debería ver por qué $n$ de cualquier tipo es mucho más raro. Hay múltiples formas de rodar algunas combinaciones.
Es por eso que las probabilidades en Craps están distribuidas de la forma en que están. Los sietes son la combinación de dados más común. Los ojos de serpiente y los furgones son los menos comunes.
Tirar dados es una distribución discreta, mientras que la distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es continua por definición. La distribución es técnicamente binomial, que se aproxima a la distribución normal cuando n crece.
Entonces, si bien su amigo tiene razón en que las probabilidades de COMBINACIÓN de dados se aproximan a la distribución gaussiana, también tiene razón en que cada PERMUTACIÓN de dados tiene la misma probabilidad. Es difícil pensar en un ejemplo de la vida real en el que se utilicen permutaciones de dados. Si alguien conoce alguno, me interesaría conocerlos.
Tu amigo tiene razón, es mucho más difícil desplegar $11111$ que cualquier otra secuencia. Veamos por qué.
Formalismo
Sea $X$ el número de veces que aparece $1$ en tiradas independientes de $5$ de un dado. Entonces, $X sim textBinom(5, frac16)$, y
$$textProb. de secuencia 11111 = P(X=5) = left(frac16 right)^5$$
$$textProb. de cualquier otra secuencia = 1-P(X=5) = 1-left(frac16 right)^5$$
Intuición
Cualquier otra combinación diferente a $11111$ es más probable porque en general cualquier otra combinación tiene más opciones por tirada. Incluso en el caso más restrictivo de cualquier otra combinación en la que no aparezca un $1$, tendrías posibilidades de $5$ ($2$ a $6$) por tirada que haría que ese evento ocurra. A su vez, la secuencia $11111$ solo tiene una posibilidad por tirada ($1$).
La aproximación gaussiana
Si define una variable aleatoria $X$ como arriba sobre el experimento de tiradas sucesivas e independientes de un dado, entonces esa variable aleatoria binomial con parámetros $n$ (número de tiradas) y $p$ (probabilidad de éxito) puede ser aproximado a través de una distribución Gaussiana con media $np$ y varianza $np(1-p)$ cuando $n$ es grande y $p$ no está demasiado cerca ni de $1$ ni de $0$. ¿Los valores de $n$ y $p$ en su problema satisfacen ese requisito? Veamos cómo se ve el PMF binomial para esos valores:
$hespacio2,5 cm$
No tan bueno, ¿verdad? Puede encontrar aquí algunas reglas generales para decidir cuándo la aproximación normal podría ser buena y aquí una prueba sobre la aproximación gaussiana de la distribución binomial.
Si en la descripción del problema haces que $n$ sea tan grande como quieras, entonces, con $p=frac16$, la aproximación gaussiana es buena. Vamos a ver:
$hespacio2,5 cm$
Acerca de por qué este enfoque solo funciona cuando $12345$ es diferente de $54321$
Veamos ahora por qué la definición de $X$ de arriba solo funciona cuando consideramos que $12345$ es diferente de $54321$. Para hacer eso, consideremos un ejemplo de juguete. Suponga que lanza tres veces un dado de $2$ y que $X$ sea el número de veces que aparece $1$. Entonces, por ejemplo, $X=2$ cuando ocurre cualquiera de las siguientes secuencias
$$121cuádruple 112cuádruple 211$$
De esta manera $P(X = 2) = 3left(frac12right)^3$, pero escribamos esto de una manera más interesante
$$P(X = 2) = binom32left(frac12right)^2left(frac12right)$$
…¿y esto qué es? ¡Nada más que una probabilidad binomial! De esta forma, podemos ver que usando probabilidades binomiales, estamos considerando que $121$, $211$ y $112$ son todos diferentes secuencias pero con el misma probabilidad! y por eso multiplicamos el término de probabilidad $displaystyle left(frac12right)^2left(frac12right)$ por $displaystyle binom{3 2$.
Comentarios y calificaciones
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