Solución:
La ley de Gauss siempre está bien. Es uno de los principios del electromagnetismo, como una de las ecuaciones de Maxwell, y por lo que podemos decir, siempre están de acuerdo con el experimento.
El problema que ha descubierto es simplemente que “una densidad de carga uniforme de extensión infinita” en realidad no es físicamente posible, y resulta que (i) no es posible expresarlo como el límite de una secuencia de situaciones físicas sensibles, y (ii) no es posible proporcionarle una formalización matemática adecuada. Es un poco fastidioso, porque puede hacer esto perfectamente con cargas infinitas de línea y superficie, pero las cargas a granel simplemente no funcionan así.
Esto puede parecer un poco extraño (y, en realidad, debería), así que echemos otro vistazo a lo que quiere decir cuando dice “el espacio está lleno” con carga de densidad $ rho $. ¿Podrías implementar esto en la vida real? ¡Por supuesto no! Solo puede llenar un volumen finito $ V $. Su esperanza entonces es que a medida que $ V $ se haga cada vez más grande, el campo dentro de él se estabilice hasta algún tipo de límite.
El problema es que para que este procedimiento tenga sentido, necesita que el procedimiento de limitación sea independiente de la forma detallada de $ V $ a medida que lo escala, porque seguramente si está en el centro de la losa y el campo tiene mayormente convergieron, la respuesta no puede depender de los detalles de un límite que está muy lejos.
Para una línea y una carga de superficie, esto funciona perfectamente. Puede calcular el campo para una carga de línea finita, y el límite no depende de qué extremo vaya al infinito más rápido siempre que ambos lo hagan. También puede probar que el campo de parches crecientes de carga superficial no depende demasiado de la forma de los parches si son lo suficientemente grandes. Sin embargo, para los cargos a granel, acaba de demostrar que no funciona: si desplaza $ V $, obtiene una respuesta diferente. Por lo tanto, el problema de una extensión infinita de carga masiva no tiene sentido, y no es el límite de los sistemas físicos sensibles que son “lo suficientemente grandes”.
Otra forma de demostrar que la propiedad “suficientemente grande” no tiene sentido es que no hay nada con que comparar el tamaño de la carga. Para cargas de línea y superficie, esto está perfectamente bien y, de hecho, todo lo que son son modelos para una carga de línea / superficie finita de longitud / radio $ L $, cuyo campo se prueba en un punto a una distancia de $ d $ de la carga. La distribución es “infinita” si $ L / d gg 1 $, o en otras palabras, los modelos son buenos si el punto está mucho más cerca de la fuente que el tamaño de la fuente. Para un cargo a granel, no hay una distancia significativa $ d $ y, por lo tanto, no hay un parámetro adimensional significativo para tomar un límite, y esto a su vez es lo que impulsa el sinsentido de la situación.
Finalmente, permítanme expresar esto de manera un poco más matemática, de una manera que haga que tenga una respuesta. Otra forma de expresar el problema “el espacio está lleno con una carga global uniforme de densidad $ rho_0 $” es como la ecuación diferencial simple $$ nabla cdot mathbf E = rho_0 / epsilon_0. $$ Esta es una pregunta razonable, excepto que le faltan condiciones de límite, por lo que la solución no será (ni siquiera cercana) única. Sin embargo, las condiciones de contorno no tienen sentido si su dominio es todo el espacio, por lo que necesita algo más, y lo que resulta que funciona es exigir respuestas que compartan las propiedades de simetría de la carga, tanto las simetrías de traducción como todas. las simetrías de puntos.
Para cargas lineales y superficiales, esto en realidad funciona casi a la perfección. Las demandas de simetría acoplada y ecuación diferencial tienen, afortunadamente, soluciones únicas: las simetrías de traslación y la ecuación diferencial descartan todo excepto los campos uniformes, que luego quedan descartados por las simetrías puntuales.
Para una carga masiva, por otro lado, obtienes una dependencia lineal fundamental y un campo uniforme, que no se puede descartar por la simetría de traslación: $$ mathbf E = frac { rho_0} {3 epsilon_0} mathbf r + mathbf E_0 = frac { rho_0} {3 epsilon_0} ( mathbf r- mathbf r_0). $$ Esta forma es una especie de traducción invariante, excepto que ahora tienes que volver a elegir $ mathbf r_0 $ cada vez que traduces, lo cual no puede ser del todo correcto. Y si intenta imponer simetrías de puntos, deberá poner $ mathbf r_0 $ en cada punto con una simetría de inversión – y ahí pierde, porque no se puede hacer.
Para reformular este último bit en sus términos, la simetría de inversión requiere que el campo sea cero en cada punto, pero esto no es consistente con la ecuación diferencial. usted siempre tienen bits de carga “infinitesimales” en $ vec r $ y $ – vec r $ produciendo bits de campo infinitesimales que se cancelan entre sí, por lo que el campo debe ser cero en cada punto. De hecho, esto es incompatible con la ley de Gauss, pero simplemente se puede atribuir al hecho de que el problema es inconsistente.
Si no especifica el límite, habrá muchos soluciones (incluidas las asimétricas)
El problema de esta pregunta es que resolver las ecuaciones diferenciales de Maxwell implica necesariamente especificar la condiciones de borde que generalmente se pueden elegir los obvios, sin embargo, aquí tal límite simplemente no existe.
Por lo general, es sencillo definir qué es este campo de “fondo”. Obviamente, puede ir infinitamente lejos de otras cargas y medir el campo. Tiene sentido establecer este campo en cero. Sin embargo, en nuestro caso, simplemente no existe un lugar infinitamente lejano y, por lo tanto, no tiene sentido asumir nada sobre el “trasfondo”. Por ejemplo, las ecuaciones de vacío permiten una solución de constante $ vec E $. Agregar esta solución a la derivada por el OP simplemente desplaza el “centro”. Esto resuelve la paradoja de violar la simetría traslacional señalada en muchas otras respuestas.
De hecho, existen muchas soluciones que son incluso menos simétricas. La más simple es quizás la solución $ E_x = x rho / epsilon_0 $, $ E_y = E_z = 0 $, que también satisface todas las ecuaciones.
Nota: No se puede suponer la isotropía y la simetría del campo eléctrico, ya que esto se basa en el argumento de que el campo eléctrico está completamente definido por cargas (lo que suele ser cierto). Sin embargo, como puede verse, esta suposición no es cierta.
Seamos realmente claros sobre el tipo exacto de error que está cometiendo.
Considere los números $ 1, -1,1, -1,1, -1, dots $. Si quisiera sumarlos, podría argumentar que $ 1-1 + 1-1 + 1-1 + dots = (1-1) + (1-1) + (1-1) + dots = 0 + 0 + 0+ puntos = 0 $.
Tu amigo podría argumentar que
$$ 1-1 + 1-1 + 1-1 + puntos = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) ++ puntos = 1 + 0 + 0 + puntos = 1. $$
El problema es que una serie infinita no es algo que realmente se calcula, por lo que las reglas de cálculo no se aplican, es un límite de las cosas que se calculan y los detalles de cómo se limita son parte de lo que se describe.
Así que veamos el caso de la carga uniforme. Puede elegir cualquier punto $ P $, cualquier magnitud $ E $ y cualquier dirección $ hat {r} $. Entonces, podría intentar argumentar que el campo eléctrico en $ P $ debe ser $ vec {E} = E hat {r} $. Solo imagina una esfera con radio $ R = E3 epsilon_0 / rho $ ubicada en $ PR hat {r} $, intenta argumentar que toda la carga fuera de la esfera se cancela y que la carga dentro de la esfera es importante y que, por lo tanto, el campo es $ vec {E} = E hat {r} $. Estás haciendo lo mismo que esa suma infinita. Estás eligiendo cancelar lo que quieres para obtener un resultado. Pero el problema no te decía que cancelaras de una manera en particular, eso eras todo tú, y eso importa. Importa el orden en que sumas las cosas cuando hay una magnitud infinita de cosas positivas y negativas. Asumir que el orden no importaba es simplemente una falla de razonamiento.
El problema es su argumento, usted argumentó que podría ignorar algo que en realidad producía una cantidad infinita de campo en la dirección positiva $ x $ y una cantidad infinita de campo en la dirección negativa $ x $ (y de manera similar para $ y $ y $ z $). Usted argumentó que podría ignorarlo y cancelarlos emparejándolos de la manera que elija. Y argumentó que sus elecciones estaban bien y actuó como si sus elecciones no afectaran la respuesta que obtuvo. Lo hicieron, y no estuvo bien. Así como cuando tú y tu amigo argumentaron que la “suma” es cero o uno, ambos están equivocados en el sentido de que no hay una suma de un número infinito de términos, solo hay límites de sumas finitas sumadas en un determinado orden, y que a veces ni siquiera hay límites de esas sumas.
Ojalá veas tu error ahora, y veas que es un error en el argumento, no has calculado algo, has argumentado que un límite debería ser algo cuando en realidad no hay un límite para tener algún valor.
Físicamente debería haber un campo debido a cada carga, y si hubiera un número finito de cargas, entonces con razón hay un campo total. Pero cuando imagina una distribución de carga continua ficticia, es posible que no haya un campo total. Puede aplicar la ley de Gauss para obtener el campo debido a cada carga, pero en su caso, es posible que no termine con un número finito de campos, por lo que puede que no haya un argumento justificado para que sean un campo total.
Las sumas infinitas no existen de la misma manera que existen las sumas finitas, las integrales son solo símbolos elegantes para ciertos tipos de límites (de sumas finitas) que a veces existen, y un campo total también es solo un límite que a veces existe cuando no se tener un número finito de cargas. Una “suma” infinita, en particular, a veces importa el orden en el que agrega, una suma finita no importa el orden en que agrega. Eso es porque una “suma” infinita no es solo una suma, es un límite. Cuando aparece un campo total basado en una “suma” infinita sin decir cómo se toma el límite, entonces tiene un problema desde el principio, incluso antes de que pueda aplicar la ley de Gauss a cualquier supuesto campo total.