Luego de de una extensa búsqueda de datos solucionamos este atolladero que presentan muchos lectores. Te dejamos la respuesta y nuestro objetivo es servirte de gran ayuda.
Solución:
Insinuación$ $ Trabajo universalmentees decir, considere las entradas de la matriz como indeterminados$rm,a_,i,j,b_,i,j.,$ Adjuntarlos a todos a $,Bbb Z,$ para obtener el anillo del polinomio $rm R = mathbb Z[a_,i,j,b_,i,j,]PS Ahora, $ $ en $rm,R,,$ calcular el determinante de $rm (1+AB), A = A, (1+BA) $ luego cancelar $rm det(A) $ (que es válido porque $,rm R,$ es un dominio). $ $ Extender a matrices no cuadradas rellenando apropiadamente con $0$‘arena $1$‘s para obtener matrices cuadradas. Tenga en cuenta que la prueba es puramente algebraico: no requiere ninguna noción topológica (por ejemplo, densidad).
Alternativamente, se puede proceder por medio de la descomposición de Schur, a saber
$$rmizquierda[ beginarrayccc
1 & rm A \
rm B & 1 endarray right] = izquierda[ beginarrayccc
1 & rm 0 \
rm B & 1 endarray right] izquierda[ beginarrayccc
1 & rm 0 \
rm 0 & rm 1-BA endarray right] izquierda[ beginarrayccc
1 & rm A \
rm 0 & 1 endarray right]$$
$$rmfantasmaizquierda[ beginarrayccc
1 & rm B \
rm A & 1 endarray right] = izquierda[ beginarrayccc
1 & rm A \
rm 0 & 1 endarray right] izquierda[ beginarrayccc
rm 1-AB & rm 0 \
rm 0 & rm 1 endarray right] izquierda[ beginarrayccc
1 & rm 0 \
rm B & 1 endarray right]$$
Consulte esta respuesta para obtener más información sobre la universalidad de las identidades polinómicas y los temas de relación, y consulte también este hilo de sci.math el 9 de noviembre de 2007.
(1) Comience, por diversión, con una prueba tonta para matrices cuadradas:
Si $A$ es invertible, entonces $$ det(I+AB)=det A^-1cdotdet(I+AB)cdotdet A=det(A^-1 cdot(I+AB)cdot A)=det(I+BA). $$ Ahora, en general, tanto $det(I+AB)$ como $det(I+BA)$ son funciones continuas de $A$, e iguales en el conjunto denso donde $A$ es invertible, por lo que son iguales en todas partes.
(1) Ahora, más en serio:
$$ detbeginpmatrixI&-B\\A&Iendpmatrix detbeginpmatrixI&B\\0&Iendpmatrix =detbeginpmatrixI&- B\\A&IendpmatrixbeginpmatrixI&B\\0&Iendpmatrix =detbeginpmatrixI&0\\A&AB+Iendpmatrix = det(I+AB) $$
y
$$ detbeginpmatrixI&B\\0&Iendpmatrix detbeginpmatrixI&-B\\A&Iendpmatrix =detbeginpmatrixI&B \ &Iendpmatrix beginpmatrixI&-B\\A&Iendpmatrix =detbeginpmatrixI+BA&0\\A&Iendpmatrix = det(I+BA) $$
Dado que los miembros más a la izquierda de estas dos igualdades son iguales, obtenemos la igualdad que desea.
Calcularemos $detbeginpmatrix I_m & -A \ B & I_n endpmatrix$ de dos maneras diferentes. Tenemos $$ detbeginpmatrix I_m & -A \ B & I_n endpmatrix = detbeginpmatrix I_m & 0 \ B & I_n + BA endpmatrix = det(I_n + BA). $$ Por otro lado, $$ detbeginpmatrix I_m & -A \ B & I_n endpmatrix = detbeginpmatrix I_m+AB & 0 \ B & I_n end pmatriz = det(I_m + AB). $$