Leila, parte de este equipo, nos ha hecho el favor de escribir este enunciado porque controla muy bien este tema.
Solución:
Hay un buen truco para calcular la inversa de cualquier matriz triangular superior invertible, uno que evita el cálculo de determinantes complicados. Dado que funciona para alguna tal matriz triangular superior (o inferior) $ T $ de cualquier tamaño $ n $, la explicaré en ese contexto.
Lo primero que hay que recordar es que el determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales. Esto puede verse fácilmente por inducción en $ n $. Es trivialmente true si $ n = 1 $; para $ n = 2 $, tenemos
$ T = begin bmatrix t_ 11 & t_ 12 \ 0 & t_ 22 end bmatrix, tag 1 $
tan obviamente
$ det (T) = t_ 11 t_ 22. etiqueta 2 $
Si ahora formulamos la hipótesis inductiva de que
$ det (T) = prod_1 ^ k t_ ii etiqueta 3 $
para cualquier $ T $ triangular superior de tamaño $ k $,
$ T = [t_ij], ; ; 1 le i, j le k, tag 4 $
entonces para $ T $ de tamaño $ k + 1 $ tenemos eso
$ det (T) = t_ 11 det (T_ 11), etiqueta 5 $
donde $ T_ 11 $ es la matriz $ k times k $ formada al eliminar la primera fila y la columna de $ T $. (4) se sigue fácilmente de la expansión de $ det (T) $ en términos de sus menores de la primera columna (ver esta página de wikipedia), ya que $ t_ i1 = 0 $ por $ i ge 2 $. De nuestra hipótesis inductiva,
$ det (T_ 11) = prod_2 ^ k + 1 t_ ii, etiqueta 6 $
de donde (5)
$ det (T) = t_ 11 det (T_ 11) = t_ 11 prod_2 ^ k + 1 t_ ii = prod_1 ^ k + 1 t_ ii, etiqueta 7 $
probando nuestra afirmación.
De (7) se sigue inmediatamente que el polinomio característico $ p_T ( lambda) $ de $ T $ es
$ p_T ( lambda) = det (T – lambda I) = prod_1 ^ n (t_ ii – lambda), etiqueta 8 $
y de (8) que los valores propios de $ T $ son precisamente sus entradas diagonales, es decir, $ t_ ii $, $ 1 le i le n $; también se sigue de (7) el hecho relacionado de que $ T $ no es singular, es decir, $ det (T) ne 0 $, precisamente cuando sus entradas diagonales son todas distintas de cero.
Para $ T $ no singulares, podemos calcular $ T ^ – 1 $ de la siguiente manera: escriba
$ T = Lambda + T_u, etiqueta 9 $
donde $ Lambda $ es la matriz diagonal formada a partir de la diagonal de $ T $; verbigracia.,
$ Lambda = [delta_ij t_ij]; etiqueta 10 $
entonces $ Lambda $ no es singular y $ T_u = T – Lambda $ es el estrictamente matriz triangular superior obtenida estableciendo la diagonal de $ T $ en cero, es decir, estableciendo $ t_ ii = 0 $ para $ 1 le i le n $. Podemos escribir
$ T = Lambda (I + Lambda ^ – 1 T_u), etiqueta 11 $
De dónde
$ T ^ – 1 = (I + Lambda ^ – 1 T_u) ^ – 1 Lambda ^ – 1. etiqueta 12 $
La matriz $ Lambda ^ – 1 T_u $ que aparece en (12) es en sí misma, de hecho, estrictamente triagnular superior, así como $ T_u $; de hecho, para cualquier diagonal $ D $, $ DT_u $ es estrictamente tirangular superior, una afirmación que se valida fácilmente mediante cálculo directo. De ello se deduce que $ Lambda ^ – 1 T_u $ es de hecho nilpotente; es decir, $ ( Lambda ^ – 1 T_u) ^ n = 0 $. Ahora podemos usar la conocida identidad algebraica
$ (1 + x) ( sum_0 ^ m (-x) ^ j) = 1 – (-x) ^ m + 1, etiqueta 13 $
fácilmente visto para sostenerse en cualquier anillo unital, aplicado a la matriz $ x = Lambda ^ – 1 T_u $, produciendo, con $ m = n – 1 $,
$ (I + Lambda ^ – 1 T_u) ( sum_0 ^ m (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ j) = I – (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ m + 1 = I – (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ n = I. etiqueta 13 $
(13) muestra que la inversa de $ I + Lambda ^ – 1 T_u $ viene dada por
$ (I + Lambda ^ – 1 T_u) ^ – 1 = sum_0 ^ m (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ j. etiqueta 14 $
De (14) se deduce que $ (I + Lambda T_u) ^ – 1 $ es triangular superior, ya que cada una de las matrices $ (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ j $, $ j ge 1 $, es estrictamente triangular superior y $ (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ 0 = I $. Además, se deduce entonces que $ T ^ – 1 = (I + Lambda T_u) ^ – 1 Lambda ^ – 1 $ también es triangular superior, siendo el producto de la matriz triangular superior $ (I + Lambda T_u) ^ – 1 $ y la matriz diagonal $ Lambda ^ – 1 $. Por tanto, hemos demostrado que la inversa de cualquier matriz triangular superior invertible, de cualquier tamaño $ n $, es en sí misma una matriz triangular superior.
La inversa de cualquier matriz invertible es invertible, la inversa de la inversa es la matriz original.
Podemos aplicar estas consideraciones al cálculo de $ A ^ – 1 $, donde
$ A = begin bmatrix a & b & c \ 0 & d & e \ 0 & 0 & f end bmatrix; etiqueta 14 $
Aquí tenemos
$ Lambda = begin bmatrix a & 0 & 0 \ 0 & d & 0 \ 0 & 0 & f end bmatrix tag 15 $
y
$ T_u = begin bmatrix 0 & b & c \ 0 & 0 & e \ 0 & 0 & 0 end bmatrix; etiqueta 16 $
luego
$ Lambda ^ – 1 T_u = begin bmatrix a ^ – 1 & 0 & 0 \ 0 & d ^ – 1 & 0 \ 0 & 0 & f ^ – 1 end bmatrix begin bmatrix 0 & b & c \ 0 & 0 & e \ 0 & 0 & 0 end bmatrix = begin bmatrix 0 & ba ^ – 1 & ca ^ -1 \ 0 & 0 & ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix; etiqueta 17 $
$ ( Lambda ^ – 1 T_u) ^ 2 = begin bmatrix 0 & ba ^ – 1 & ca ^ – 1 \ 0 & 0 & ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix begin bmatrix 0 & ba ^ – 1 & ca ^ – 1 \ 0 & 0 & ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix = begin bmatrix 0 & 0 & bea ^ – 1 d ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix; etiqueta 18 $
$ ( Lambda ^ – 1 T_u) ^ 3 = 0; etiqueta 19 $
$ sum_0 ^ 2 (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ j = begin bmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end bmatrix – begin bmatrix 0 & ba ^ – 1 & ca ^ – 1 \ 0 & 0 & ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix + begin bmatrix 0 & 0 & bea ^ – 1 d ^ – 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end bmatrix $ $ = begin bmatrix 1 & -ba ^ – 1 & (be – cd) a ^ – 1 d ^ – 1 \ 0 & 1 & – ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 1 end bmatrix; etiqueta 20 $
finalmente,
$ T ^ – 1 = (I + Lambda ^ – 1 T_u) ^ – 1 Lambda ^ – 1 = ( sum_0 ^ 2 (- Lambda ^ – 1 T_u) ^ j) Lambda ^ – 1 $ $ = begin bmatrix 1 & -ba ^ – 1 & (be – cd) a ^ – 1 d ^ – 1 \ 0 & 1 & – ed ^ – 1 \ 0 & 0 & 1 end bmatrix begin bmatrix a ^ – 1 & 0 & 0 \ 0 & d ^ – 1 & 0 \ 0 & 0 & f ^ – 1 end bmatrix $ $ = begin bmatrix a ^ – 1 & -ba ^ – 1 d ^ – 1 & (be – cd) a ^ -1 d ^ – 1 f ^ – 1 \ 0 & d ^ – 1 & – ed ^ – 1 f ^ – 1 \ 0 & 0 & f ^ – 1 end bmatrix, etiqueta 21 $
esto de acuerdo con los cálculos de Nimda. De hecho, tenemos
$ begin bmatrix a & b & c \ 0 & d & e \ 0 & 0 & f end bmatrix begin bmatrix a ^ – 1 & -ba ^ – 1 d ^ – 1 & (be – cd) a ^ – 1 d ^ – 1 f ^ – 1 \ 0 & d ^ – 1 & – ed ^ – 1 f ^ -1 \ 0 & 0 & f ^ – 1 end bmatrix = begin bmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end bmatrix , etiqueta 22 $
como revela algo de álgebra simple.
Por supuesto, todo esto se aplica también a las matrices triangulares inferiores, y las demostraciones son similares y análogas, es decir, esencialmente las mismas.
¡Espero que esto ayude! Salud,
y como siempre
¡¡¡Fiat lux!!!
No es demasiado difícil de resolver directamente $$ left ( begin array rrr% a & b & c \% 0 & d & e \% 0 & 0 & f \% end array right)% left ( begin array rrr% x & y & z \% 0 & y & v \% 0 & 0 & w \% end array right)% = left ( begin array rrr% 1 & 0 & 0 \% 0 & 1 & 0 \% 0 & 0 & 1 \% end array right)% $$ dando
$$ left ( begin array rrr% 1 / a & -b / (ad) & (be-cd) / (afd) \% 0 & 1 / d & -e / (fd) \% 0 & 0 & 1 / f \% end array right)% $$ de lo que vemos directamente que la matriz es invertible si todos $ a, d $ y $ f $ son diferentes de cero.
Como la pregunta se hizo una vez más viva, daré la respuesta en un sentido mucho más general, válido no solo para la propiedad de triangularidad superior de las matrices, sino también para otras propiedades si están presentes en las circunstancias descritas a continuación.
Ahora suponga que para algunas matrices $ A, B $ considera un patrón de entradas, dice que podría mencionarse “triangularidad superior” (UT) y ha demostrado que para cualquier matriz con propiedad UT la suma $ A + B $ y el producto $ AB $ conserva UT (lo que es fácil de probar).
Si es así, también poderes $ A ^ k $ preservar UT.
En consecuencia, dado que cualquier inverso se puede expresar como polinomio $ p (A) $ de $ A $ calculado directamente a partir del teorema de Cayley-Hamilton, entonces también $ A ^ – 1 $ tiene la propiedad UT.
Si guardas alguna vacilación o capacidad de arreglar nuestro artículo te insinuamos realizar una explicación y con gusto lo interpretaremos.