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Solución:
Lo que afirmas no es necesariamente true si intercambia dos filas arbitrariamente. Es fácil generar un contraejemplo aleatorio por computadora. Sin embargo, si $J$ es la matriz de identidad hacia atrás (como se muestra en su código MATLAB), entonces los valores propios de $JA$ (o $AJ$, que es similar a $JA$) y $A$ son idénticos excepto que $ lfloor frac n2rfloor$ pares de ellos tienen signos diferentes.
La razón esencial detrás de este fenómeno es que una matriz Toeplitz simétrica tiene una base propia en la que los vectores propios $lceil frac n2rceil$ $v$ son “simétricos” (es decir, $Jv=v$) y el resto $lfloor frac n2rfloor$ son “sesgados simétricos” ($Jv=-v$).
Entonces, si $v$ es un vector propio simétrico correspondiente a un valor propio $lambda$, tenemos $JAv=J(lambda v)=lambda Jv=lambda v$, es decir, $lambda$ es también un valor propio de $JA$.
Por el contrario, si $v$ es un vector propio sesgado simétrico correspondiente a algún valor propio $lambda$, entonces $JAv=J(lambda v)=lambda Jv=-lambda v$, es decir, el signo del valor propio es invirtió $JA$.
Resulta que su observación acerca de que los valores propios de una matriz de Toeplitz simétrica real son los mismos hasta el signo después de una inversión de fila o columna completa se puede generalizar bastante bien. Para empezar, tenga en cuenta que una inversión de fila completa de una matriz $A$ se obtiene premultiplicando por el matriz de intercambio$J$ (también llamado el identidad retrógrada) mientras que una inversión de columna completa de $A$ se obtiene por post-multiplicación por la matriz $J$.
Ahora observe que una matriz de Toeplitz simétrica real $A$ satisface la relación de conmutación $JA = AJ$. Es decir, la matriz $A$ pertenece a la clase de matrices centrosimétricas. Entonces deja $A$ ser ninguna matriz centrosimétrica real diagonalizable. Entonces $J$ y $A$ se puede diagonalizar simultáneamente para bloquear matrices de la forma
$J’ = left( {beginarray*20c yo & \ & – yo \endarray derecho)$ y $A’ = left( beginarray*20c A’_11 & \ & A’_22 \endarray derecho) $. Ya que $J’A’ = left( beginarray*20c A’_11 & \ & – A’_22 \endarray derecho),$ el resultado es el siguiente: las matrices $A$ y $JA$ tienen los mismos valores propios hasta el signo. Esa es la primera generalización trivial (desde matrices Toeplitz simétricas reales hasta matrices centrosimétricas diagonalizables reales).
Luego, observe que podemos jugar el mismo juego con cualquier matriz compleja diagonalizable $A$ satisfactorio $KA=AK$ para una matriz involutiva compleja $K$ (significado involutivo $K^2=I$) ya que el polinomio mínimo de $K$ tiene raíces $pm 1$ (esto incluye los casos $K=pm I$). Es decir, si tenemos una relación de conmutación $KA=AK$ y $K^2=I$luego antes (o después) de la multiplicación de $A$ por un involutivo $K$ resulta en una matriz $KA$ (o $AK$) cuyos valores propios son los mismos que los de $A$ hasta firmar. Esa es una segunda generalización (también trivial), a matrices diagonalizables complejas $A$ y donde $J$ simplemente ha sido reemplazada por una matriz involutiva $K$.
Para ilustrar, aquí hay un ejemplo simple de un par que viaja diariamente $A$ y $K$ donde $K$ es involutivo:$$A = left( beginarray*20c 2 y -1 y -2 \ -1 y 2 y -2 \ -2 y -2 y -1 \ endarray right), K = left( {beginarray*20c frac23 & frac-13 & frac-23 \ fracción-13 & frac23 & frac-23 \ frac-23 & frac- 23 & frac-13 \ endarrayderecho)$$
Puedes confirmar eso $A$, $KA$y $AK$ todos tienen el mismo multiconjunto de valores propios hasta el signo.
Nada sorprendente hasta ahora. Lo que podría ser inesperado, sin embargo, es que la implicación inversa también se cumple cuando $A$ y $K$ son hermitianos. Es decir, supongamos que tenemos una matriz hermitiana $A$ y un hermitiano involutivo $K$ tal que $A$ y $KA$ tienen los mismos valores propios hasta el signo. Entonces resulta que $A$ y $K$ debe conmutar multiplicativamente! Esta es una consecuencia elemental pero algo encubierta del hecho de que los valores singulares de una matriz son iguales a sus valores propios excepto si y solo si la matriz es normal. Si está interesado en ver cómo funciona esto, puede consultar el documento “Una caracterización espectral de las matrices K centrosimétricas hermíticas y sesgadas centrosimétricas hermíticas” en SIAM. J. Matriz Anal. & Appl., 25(3), 601–605. El núcleo de la prueba se lleva a cabo en el contexto de operadores lineales compactos autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo y el resultado para matrices hermitianas es un corolario inmediato. En el caso real donde $K=J$se podría decir que esto da una especie de “caracterización espectral” para la clase de matrices bisimétricas (es decir, matrices centrosimétricas simétricas reales).
Mencionaré brevemente que hay un conjunto análogo de resultados cuando $A$ y $K$ anti-conmutación. Entonces, la historia puede llevarse un poco más lejos y en otras direcciones. . . pero me detendré aquí porque quizás esto ya esté más allá del alcance de la pregunta original.
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