Posteriormente a investigar en varios repositorios y páginas webs de internet finalmente hemos hallado la respuesta que te enseñaremos aquí.
Solución:
Además, explique por qué la expresión es necesariamente positiva si los vértices se toman en sentido horario y es negativa si los vértices se toman en sentido antihorario.
Reduzcamos el problema un poco: en su lugar, puede usar el primer punto como origen. Geométricamente, esta es una traslación de todos los puntos por un vector constante, y obviamente no afecta el área. En términos del determinante, esto se logra aplicando las operaciones de dos columnas
$$ C_1 a C_1 – x_1C_3, \ C_2 a C_2 – y_1C_3, \ $$
que no cambian el determinante. Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer $binomx_1y_1 = binom00$, y ahora tenemos que comprobar
$$frac 1 2left|{beginarrayccc 0 & 0 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \ endarray derecho| >0? $$
Expandiendo este determinante (por ejemplo, expansión de Laplace a lo largo de la fila superior) obtenemos
$$ frac 1 2left|{beginarrayccc 0 & 0 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \ endarray derecho| = frac 1 2izquierda|{beginarraycc x_2 y y_2 \ x_3 y y_3 \ endarray derecho| = frac12 binom-y_2x_2cdotbinomx_3y_3$$
Esto es quizás más fácil de interpretar si primero asumimos que giramos el diagrama hasta que el segundo punto se encuentra en la parte positiva de la $x$ eje. es decir $y_2=0, x_2 > 0$. Ahora el determinante es simplemente
$$ x_2y_3/2 $$
y esto es positivo iff $y_3$ es positivo, lo cual es true si tomaste los puntos en el sinistrorso orden, no en el sentido de las agujas del reloj, como decía su libro*.
En este punto, puede agitar las manos mientras dice algo acerca de las matrices de rotación que tienen el determinante 1, o puede repetir el argumento para un general $binomx_2y_2$. ¿Qué significa elegir 3 puntos en el sentido contrario a las agujas del reloj? Significa que el tercer punto está en el lado “izquierdo” de la línea que une los dos primeros puntos. Dado que el primer punto es $binom00$, un vector paralelo a esta recta es $binomx_2y_2$, y el vector
$$ binom-y_2x_2$$
es el $90º$ rotación en sentido antihorario de $binomx_2y_2$. el tercer punto $binomx_3y_3$ está en el lado “izquierdo” de la línea si y solo si el producto escalar de $binomx_3y_3$ y $ binom-y_2x_2$ es positivo, de ahí el resultado. (de hecho, podría tomar esto como una definición de estar en el lado “izquierdo”…)
PS esto no está muy lejos de la derivación completa de por qué esto es igual al área; Para la derivación completa, es posible que desee consultar las respuestas aquí:
Demuestre que el área de un triángulo está dada por este determinante
Demuestra que el área de un triángulo dado con coordenadas es medio determinante
¿Por qué el determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?
* Verifiqué para asegurarme con este ejemplo explícito: $ tiny beginpmatrix scriptsize 0 & scriptsize 0 &scriptsize 1 \scriptsize 1 &scriptsize 0 &scriptsize 1 \ scriptsize 0 &scriptsize 1 &scriptsize 1 endpmatrix PS tiene determinante 1, y los vértices $(0,0),(1,0),(0,1)$ de hecho se toman en el sentido contrario a las agujas del reloj. Así que copió algo mal o su libro tiene un error tipográfico.
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