Solución:
Lo que está intentando hacer es una descomposición de fracciones parciales.
Idea. Imagina que tu calculadora está rota y un grupo de matones te detiene en la calle y te exigen a punta de cuchillo que calcules $ frac 191 105 $ como un decimal (parte de su iniciación en la banda Mathies, como ves), o de lo contrario te degollarán. Desafortunadamente, dado que su calculadora está rota, realmente solo puede hacer divisiones si el divisor es un número de un solo dígito (por lo que puede usar sus dedos para hacer las operaciones; está muy bueno con eso, porque conoces las tablas de multiplicar de números de un solo dígito …). Afortunadamente, te das cuenta de que $ 105 = 3 por 5 por 7 $. ¿Hay alguna forma de salvar su cuello usando esta observación?
Bueno, tu lo sabes $ 191 = 105 + 86 $, así que al menos sabes que $ frac 191 105 = 1 + frac 86 105 $, por lo que se ocupa de la parte entera de la fracción. Qué pasa $ frac 86 105 $? ¡Ajá! Aquí tienes una idea inteligente: quizás$ frac 86 105 $ es realmente el resultado de una suma de fracciones! Si tuvieras una suma de fracciones de la forma
$$ frac A 3 + frac B 5 + frac C 7 $$
luego, para escribirlo como una sola fracción, encontraría el denominador común, $ 105 $y luego hacer un montón de operaciones y terminar con una fracción $ frac mathrm algo 105 $. Si puedes encontrar un $ A $, $ B $, y $ C $ de manera que la something es $ 86 $, entonces en lugar de computar $ frac 86 105 $ tu puedes hacer $ frac A 3 $, $ frac B 5 $, y $ frac C 7 $ (lo que puede hacer, ya que los denominadores son números de un solo dígito), y luego agregar esos decimales para obtener la respuesta. ¿Podemos? Hacemos un poco de álgebra:
$$ frac A 3 + frac B 5 + frac C 7 = frac 35A + 21B + 15C 105 $$
Entonces quieres $ 35A + 21B + 15C = 86 $. Quiso la suerte $ A = B = 1 $ y $ C = 2 $ funciona, entonces
$$ frac 86 105 = frac 1 3 + frac 1 5 + frac 2 7. $$
Y ahora todo está bien:
begin align * frac 191 105 & = 1 + frac 86 105 \ & = 1 + frac 1 3 + frac 1 5 + frac 2 7 \ & = 1 + (0.3333 ldots) + (0.2) + (0.285714285714 overline 285714 ldots) end align *
y puedes dar una respuesta a esos matones peligrosos y vivir para derivar otro día.
** Tu problema. ** Quieres hacer algo similar con el cociente polinomial, con denominadores así de “fácil”; en este caso, grado $ 1 $. La primera tarea es hacer que la fracción sea “menor que $ 1 $“, asegurándose de que el denominador tenga un grado mayor que el numerador. Esto se hace con la división polinomial larga (ver también esta respuesta reciente). Haciendo la división larga mentalmente, tenemos: para obtener $ 2x ^ 2 $ de $ x ^ 2 + 11x + 30 $ multiplicamos por $ 2 $:
$$ 2x ^ 2 + 11x = (x ^ 2 + 11x + 30) (2+ cdots) $$
que produce no deseados $ 11x + 60 $, (bueno, obtienes $ 22x + 60 $, pero tu * quieres * $ 11x $ de esos, por lo que solo te queda un sobrante de $ 11x + 60 $); nada que hacer con ellos, excepto cancelarlos después de que el producto esté listo. Así que tienes
$$ 2x ^ 2 + 11x = (x ^ 2 + 11x + 30) (2) – (11x + 60). $$
Para que puedas escribir
$$ frac 2x ^ 2 + 11x x ^ 2 + 11x + 30 = 2 + frac – (11x + 60) x ^ 2 + 11x + 30. $$
Ahora tenemos la “parte entera” y trabajamos en la “parte fraccionaria”. El denominador se factoriza como $ (x + 5) (x + 6) $, por lo que queremos pensar en esa fracción como el resultado final de hacer una suma de la forma
$$ frac A x + 5 + frac B x + 6. $$
Porque la suma es “menor que $ 1 $“(numerador de grado menor que el denominador) cada una de estas fracciones también debe ser” menor que uno “. Así que tanto el $ A $ y $ B $ serán constantes.
Entonces tenemos:
begin align * frac -11x – 60 x ^ 2 + 11x + 30 & = frac A x + 5 + frac B x + 6 \ & = frac A (x + 6) (x + 5) (x + 6) + frac B (x + 5) (x + 6) (x + 5) \ & = frac A (x + 6) + B (x + 5) (x + 5) (x + 6) \ & = frac Ax + 6A + Bx + 5B x ^ 2 + 11x + 30 = frac (A + B) x + (6A + 5B) x ^ 2 + 11x + 30. end alinear *
Para que esto funcione, necesita $ (A + B) x + (6A + 5B) = -11x-60 $. Eso significa que necesitamos $ A + B = -11 $ (entonces el $ x $estoy de acuerdo) y $ 6A + 5B = -60 $ (por lo que los términos constantes concuerdan).
Eso significa $ A = -11-B $ (de la primera ecuación). Conectando a la segunda ecuación, obtenemos
$$ – 60 = 6A + 5B = 6 (-11-B) + 5B = -66 -6B + 5B = -66-B. $$
Entonces eso significa que $ B = 60-66 = -6 $. Y desde $ A + B = -11 $, luego $ A = -5 $.
(Un método alternativo para encontrar los valores de $ A $ y $ B $ es el método de encubrimiento de Heaviside; por el hecho de que
$$ – 11x – 60 = A (x + 6) + B (x + 5) $$
sabemos que los dos lados deben tomar el mismo valor para cada valor de $ x $; si conectamos $ x = -6 $, esto “cubrirá” el $ A $ a la derecha y simplemente obtenemos $ B (-6 + 5) = -B $; esto debe ser igual $ -11 (-6) -60 = 6 $; asi que $ 6 = -B $, por eso $ B = -6 $. Luego conectando $ x = -5 $ “cubre” el $ B $ Para darnos $ -11 (-5) -60 = A (-5 + 6) $, o $ -5 = A $. Entonces obtenemos $ A = -5 $, $ B = -6 $, Igual que antes.)
Es decir,
$$ frac -11x-60 x ^ 2 + 11x + 30 = frac -5 x + 5 + frac -6 x + 6. $$
Poniéndolo todo junto, tenemos:
$$ frac 2x ^ 2 + 11x x ^ 2 + 11x + 30 = 2 + frac -11x-60 x ^ 2 + 11x + 30 = 2 – frac 5 x +5 – frac 6 x + 6. $$
Y Tu tarea está terminada. Has descompuesto el cociente en fracciones parciales.
Consideración. Debe tener cuidado si el denominador tiene factores repetidos o tiene factores que son de grado $ 2 $ y no se puede factorizar más (p. ej., $ x ^ 2 + 1 $); Hablo de eso a continuación en la discusión general.
Ahora, esperemos que Mathies Gang no pida una prueba de la conjetura de Goldbach de su próximo lote de promesas …
Idea general.
Así que analicemos esta idea para el problema general de integrar un función racional; es decir, una función de la forma
$$ frac P (x) Q (x) $$
dónde $ P (x) = a_nx ^ n + cdots + a_1x + a_0 $ y $ Q (x) = b_mx ^ m + cdots + b_1x + b_0 $ son polinomios.
La integración de polinomios es fácil, por lo que la primera tarea es hacer una división larga para escribir la fracción como un polinomio más una función racional en la que el numerador tiene un grado menor que el denominador. Así que consideraremos solo el caso en el que $ n lt m $ avanzando.
Primero, asegurémonos de poder hacer esas fracciones con “denominadores fáciles”. Para mí, “denominador fácil” significa (i) lineal, $ ax + b $; (ii) potencia de un polinomio lineal, $ (ax + b) ^ n $; (iii) cuadrática irreducible; (iv) potencia de una cuadrática irreducible. Así que hablemos de cómo integrarlos:
-
Cuando $ Q (x) $ tiene grado $ 1 $ y $ P (x) $ es constante. Por ejemplo, algo como
$$ int frac 3 2x-5 , dx. $$
Estas integrales son muy fáciles de hacer: hacemos un cambio de variable $ u = 2x-5 $, asi que $ du = 2dx $. Simplemente obtenemos
$$ int frac 3 2x-5 , dx = 3 int frac dx 2x-5 = 3 int frac frac 1 2 du u = frac 3 2 ln | u | + C = frac 3 2 ln | 2x-5 | + C. $$ -
De hecho, la idea anterior funciona siempre que el denominador sea un poder de un grado $ 1 $ polinomio y el numerador es una constante. Si tuviéramos algo como
$$ int frac 3 (2x-5) ^ 6 , dx $$
entonces podemos dejar $ u = 2x-5 $, $ du = 2dx $ y obtenemos
$$ begin align * int frac 3 (2x-5) ^ 6 , dx & = 3 int frac frac 1 2 du u ^ 6 = frac 3 2 int u ^ – 6 , dx \ & = frac 3 2 left ( frac 1 – 5 u ^ – 5 right) + C \ & = – frac 3 10 (2x-5) ^ – 5 + C. end align * $$ -
¿Qué pasa si el denominador es un cuadrático irreducible? Las cosas se complican un poco más. El ejemplo más simple de una cuadrática irreducible es $ x ^ 2 + 1 $, y el numerador más sencillo es $ 1 $. Ese integral se puede hacer directamente:
$$ int frac 1 x ^ 2 + 1 , dx = arctan (x) + C. $$
Si tenemos una cuadrática irreducible de la forma $ x ^ 2 + a $, con $ a gt 0 $, entonces siempre podemos escribirlo como $ x ^ 2 + b ^ 2 $ con $ b = sqrt a $; entonces podemos hacer lo siguiente: factorizar $ b ^ 2 $ del denominador,
$$ int frac dx x ^ 2 + b ^ 2 = int frac dx b ^ 2 (( frac x b) ^ 2 + 1); $$
y ahora estableciendo $ u = frac x b $, asi que $ du = frac 1 b , dx $, obtenemos:
$$ int frac dx x ^ 2 + b ^ 2 = frac 1 b int frac 1 ( frac x b) ^ 2 + 1 left ( frac 1 b right) , dx = frac 1 b int frac 1 u ^ 2 + 1 , du, $$
y ahora podemos hacer la integral fácilmente como antes. ¿Y si tenemos un mas general denominador cuadrático irreducible? Algo como $ x ^ 2 + x + 1 $, o algo más con un $ x $ ¿término?
La frase mágica aquí es * Completando el cuadrado “. Podemos escribir $ x ^ 2 + x + 1 $ como
$$ x ^ 2 + x + 1 = left (x ^ 2 + x + frac 1 4 right) + frac 3 4 = left (x + frac 1 2 right) ^ 2 + frac 3 4. $$
Luego estableciendo $ w = x + frac 1 2 $, terminamos con una integral que se parece al caso anterior. Por ejemplo,
$$ int frac dx x ^ 2 + x + 1 = int frac dx (x + frac 1 2) ^ 2+ frac 3 4 = int frac dw w ^ 2 + frac 3 4, $$
y sabemos como lidiar con estas.
Entonces: si el denominador es un cuadrático irreducible, y el numerador es una constante, podemos hacer la integral.
-
¿Qué pasa si el denominador es un cuadrático irreducible, pero el numerador es no ¿constante? Como siempre podemos hacer la división larga, podemos tomar el numerador como de grado $ 1 $. Si tenemos suerte, es posible que podamos hacerlo con una simple sustitución; por ejemplo, hacer
$$ int frac 2x + 3 x ^ 2 + 3x + 4 , dx $$
(tenga en cuenta que el denominador es cuadrático irreductible), podemos simplemente dejar $ u = x ^ 2 + 3x + 4 $, ya que $ du = (2x + 3) , dx $, exactamente lo que tenemos en el numerador, por lo que
$$ int frac 2x + 3 x ^ 2 + 3x + 4 , dx = int frac du u = ln | u | + C = ln | x ^ 2 + 3x + 4 | + C = ln (x ^ 2 + 3x + 4) + C. $$
¿Si no tenemos suerte? Bueno, siempre podemos hacer nuestra propia suerte. Por ejemplo, si tuviéramos
$$ int frac 3x x ^ 2 + 3x + 4 , dx $$
entonces no podemos simplemente hacer la sustitución $ u = x ^ 2 + 3x + 4 $; pero si quisiéramos hacer eso de todos modos, necesitaríamos $ 2x + 3 $ en el numerador; entonces jugamos un pequeño juego de álgebra:
$$ begin align * frac 3x x ^ 2 + 3x + 4 & = 3 left ( frac x x ^ 2 + 3x + 4 right) \ & = 3 left ( frac frac 1 2 (2x) x ^ 2 + 3x + 4 right) \ & = frac 3 2 left ( frac 2x x ^ 2 + 3x + 4 right) & text (todavía no del todo bien) \ & = frac 3 2 left ( frac 2x + 3-3 x ^ 2 + 3x + 4 right) \ & = frac 3 2 left ( frac 2x + 3 x ^ 2 + 3x + 4 – frac 3 x ^ 2 + 3x + 4 derecha). end align * $$
¿Qué hemos logrado? El primer summand, $ frac 2x + 3 x ^ 2 + 3x + 4 $, es una integral que podemos hacer con una simple sustitución; y el segundo sumando, $ frac 3 x ^ 2 + 3x + 4 $, es una integral que nosotros acabo de ver como hacerlo! Entonces, de esta manera, podemos resolver este tipo de integral. Siempre podemos reescribir la integral como una suma de una integral que podemos hacer con una sustitución y una integral que es como en el caso 3 anterior. -
¿Y si el denominador es un poder de una cuadrática irreducible? Algo como $ (x ^ 2 + 3x + 5) ^ 4 $? Si el numerador es de grado como máximo $ 1 $, entonces podemos jugar el mismo juego que acabamos de hacer para terminar con una suma de dos fracciones; el primero tendrá un numerador que es exactamente la derivada de $ x ^ 2 + 3x + 5 $, y el segundo tendrá un numerador constante. Así que solo necesitamos descubrir cómo hacer una integral como
$$ int frac 2dx (x ^ 2 + 3x + 5) ^ 5 $$
con numerador constante y una potencia de un cuadrático irreducible en el denominador.
Al completar el cuadrado como hicimos en 3, podemos reescribirlo para que se vea como
$$ int frac dw (w ^ 2 + b ^ 2) ^ 5. $$
Resulta que si realiza la integración por partes, obtiene una fórmula de reducción que dice:
$$ int frac dw (w ^ 2 + b ^ 2) ^ n = frac 1 2b ^ 2 (n-1) left ( frac w (w ^ 2 + b ^ 2) ^ n-1 + (2n-3) int frac dw (w ^ 2 + b ^ 2) ^ n-1 right) $$
Al usar esta fórmula repetidamente, eventualmente terminaremos en una integral donde el denominador es solo $ w ^ 2 + b ^ 2 $… y ya sabemos hacer aquellos. Así que todo está bien en el mundo (con mucho trabajo, al menos).
Bueno. ¿Necesitamos ahora discutir qué hacer cuando el denominador es un polinomio cúbico, luego un polinomio de cuarto grado, luego un polinomio de quinto grado, etc.?
¡No! Podemos jugar el mismo juego que hicimos con las fracciones anteriores, y tomar una función racional arbitraria y reescribirla como una suma de fracciones, con cada fracción una potencia de grado 1 o un polinomio cuadrático irreducible. La clave de esto es el Teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes reales se puede escribir como un producto de polinomios cuadráticos lineales e irreducibles. De hecho, una de las principales razones por las que la gente quería probar el teorema fundamental del álgebra era asegurarnos de que pudiéramos hacer integrales de funciones racionales de la manera que estamos discutiendo.
Entonces aquí hay un método para integrar una función racional:
Computar
$$ int frac P (x) Q (x) , dx $$
dónde $ P (x) $ y $ Q (x) $ son polinomios:
Si $ deg (P) $ es igual o mayor que $ deg (Q) $, realice una división larga y reescriba la fracción como un polinomio más una fracción propia (con un numerador de grado estrictamente menor que el denominador). Integra el polinomio (fácil).
Factoriza completamente el denominador $ Q (x) $ en términos lineales y cuadráticas irreductibles. Esto puede resultar muy difícil de realizar en la práctica. De hecho, este paso es el único obstáculo para poder hacer estas integrales siempre, fácilmente. Factorizar un polinomio completa y exactamente puede ser muy difícil. El teorema fundamental del álgebra dice que hay es una forma de escribir $ Q (x) $ de esa manera, pero no nos dice cómo Encuéntralo.
Reescribe la fracción como una suma de fracciones, cada una de las cuales tiene un denominador que es una potencia de polinomio lineal o de una cuadrática irreducible. (Más sobre esto a continuación).
Haz la integral de cada una de las fracciones como se discutió anteriormente.
¿Cómo reescribimos como una suma?
Escribir $ Q (x) $ como producto de potencias de polinomios distintos, cada uno lineal o cuadrático irreducible; p.ej, $ Q (x) = x (2x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 + 2) ^ 2 $.
Por cada poder $ (ax + b) ^ n $, usar $ n $ fracciones de la forma:
$$ frac A_1 ax + b + frac A_2 (ax + b) ^ 2 + cdots + frac A_n (ax + b) ^ n, $$
dónde $ A_1, ldots, A_n $ son constantes que se determinarán más tarde.
Para cada potencia de una cuadrática irreducible, $ (ax ^ 2 + bx + c) ^ m $, usar $ m $ fracciones de la forma:
$$ frac C_1x + D_1 ax ^ 2 + bx + c + frac C_2x + D_2 (ax ^ 2 + bx + c) ^ 2 + cdots + frac C_mx + D_m (ax ^ 2 + bx + c) ^ m, $$
dónde $ C_1, D_1, ldots, C_m, D_m $ son constantes que se determinarán más tarde.
Entonces, en el ejemplo anterior, $ Q (x) = x (2x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 + 2) ^ 2 $, obtendríamos:
$$ begin align * & quad + frac A x & text (correspondiente al factor x text ) \ & quad + frac B 2x + 1 & text (correspondiente al factor 2x-1 text ) \ & quad + frac C x + 2 + frac D (x + 2) ^ 2 + frac E (x + 2) ^ 3 & text (correspondiente al factor (x + 2) ^ 3 text ) \ & quad + frac Gx + H x ^ 2 + 1 & text (correspondiente al factor x ^ 2 + 1 text ) \ & quad + frac Jx + K x ^ 2 + 2 + frac Lx + M (x ^ 2 + 2) ^ 2 & text (correspondiente al factor (x ^ 2 + 2) ^ 2 text ) end align * $$
Y ahora, el paso final: ¿cómo averiguamos cuáles son todas esas constantes-por-ser-determinadas-más tarde? ¡Hacemos la operación y la comparamos con el original! Digamos que estamos tratando de calcular
$$ int frac 3x-2 x (x + 2) ^ 2 (x ^ 2 + 1) , dx $$
(no es lo mismo que el anterior, pero quiero hacer algo lo suficientemente pequeño como para que podamos hacerlo).
Lo configuramos como arriba; luego hacemos el álgebra. Tenemos:
$$ begin align * frac 3x-2 x (x + 2) ^ 2 (x ^ 2 + 1) & = frac A x + frac B x +2 + frac C (x + 2) ^ 2 + frac Dx + E x ^ 2 + 1 \ & = frac small A (x + 2) ^ 2 (x ^ 2 + 1) + Bx (x + 2) (x ^ 2 + 1) + Cx (x ^ 2 + 1) + (Dx + E) x (x + 2) ^ 2 x (x + 2) ^ 2 (x ^ 2 + 1). end align * $$
Ahora tenemos dos opciones: podemos hacer el álgebra en el numerador y escribirlo como un polinomio. Entonces tiene que ser idéntico para $ 3x-2 $. Por ejemplo, el coeficiente de $ x ^ 4 $ en el numerador sería $ A + B + D $, entonces necesitaríamos $ A + B + D = 0 $; el término constante sería $ 4A $, asi que $ 4A = -2 $; etcétera.
El otro método es el método de encubrimiento de Heaviside. Dado que las dos expresiones tienen que ser iguales, el numerador tiene que ser el mismo que $ 3x-2 $ cuando se evalúa en cada valor de $ x $. Si elegimos $ x = 0 $ y conéctelo al numerador izquierdo, obtenemos $ -2 $; si lo conectamos al lado derecho, obtenemos $ A (2) ^ 2 (1) = 4A $, asi que $ 4A = -2 $, que nos dice que $ A $ es. Si conectamos $ x = -2 $, el lado h izquierdo es $ 3 (-2) -2 = -8 $, el lado derecho es $ C (-2) ((- 2) ^ 2 + 1) = -10C $, asi que $ -10C = -8 $, que nos dice que $ C $ es; luego podemos simplificar y continuar haciendo esto (notará que seleccioné puntos donde muchos de los sumandos a la derecha simplemente evalúan a $ 0 $) hasta obtener el valor de todos los coeficientes.
Y una vez que hayamos encontrado todos los coeficientes, simplemente dividimos la integral en una suma de integrales, cada una de las cuales ya sabemos cómo hacerlo. Y así, después de una buena cantidad de trabajo (pero principalmente trabajo ocupado), hemos terminado.
Realmente no puedo realizar una división larga polinomial en TeX en el sentido normal, pero esencialmente quieres resolver $$ 2x ^ 2 + 11x = g (x) cdot (x ^ 2 + 11x + 30) + r (x) $ $ encontrando polinomios $ g (x) $ y $ r (x) $ tales que $ deg (r) = 0 $ o $ deg (r) < deg (x ^ 2 + 11x + 30) $.
Quieres que los términos principales coincidan en ambos lados, ¿verdad? Entonces, el término principal de $ g (x) $ debería ser $ 2 $.
Este es el término constante del polinomio, por lo que ha llegado al final de la línea en cierto sentido. Entonces $$ 2x ^ 2 + 11x = 2 cdot (x ^ 2 + 11x + 30) + r (x) $$ lo que implica $$ r (x) = 2x ^ 2 + 11x-2 cdot (x ^ 2 + 11x + 30) = – 11x-60. $$ De ello se deduce que $$ frac 2x ^ 2 + 11x x ^ 2 + 11x + 30 = 2 + frac -11x-60 x ^ 2 + 11x + 30. $$ Puedes comprobar que $$ frac -11x-60 x ^ 2 + 11x + 30 = – frac 6 x + 6 – frac 5 x + 5. $$ Para obtener el resto en la forma deseada, puede usar el método de fracciones parciales para dividir el resto con denominador cuadrático en una suma de términos con denominadores lineales. Puedo extenderme más sobre eso si no está familiarizado con él. También puede ser muy útil seguir el buen ejemplo que se da en wikipedia.
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