Te doy la bienvenida a proyecto on line, ahora vas a encontrar la solucíon de lo que buscabas.
Solución:
Bueno, en principio no hay nada malo con las definiciones que tienes. Matemáticamente, las funciones se definen de manera extensiva, por lo que dos funciones de aspecto diferente que tienen la misma salida en todas las entradas son en realidad la misma función, solo que escritas en formas diferentes.
Dicho esto, cuando se trata de funciones personalizadas especificadas por el usuario que son periódicas, creo que es más fácil definirlas en un intervalo que abarca un período y luego extenderlas al resto de la línea real usando la periodicidad. Es decir, define $gcolon[0T)tomathbbR$delaformaquedeseedonde$T$eselperíododesuformadeondayluegodejeque$f(x)=g(xbmodT)$paracualquier$xinmathbbR$Paratusejemplosdefiniría$$beginaligng_textsawtooth(x)&=frac2xT-1\g_textsquare(x)&=begincasos1&textsix
Ahora desea integrar estos. Hay una buena manera de integrar una función periódica, dividiendo el intervalo de integración en períodos: $$beginalign int_0^xf(t),mathrm dt &= int_0^Tf(t), mathrm dt+int_T^2Tf(t),mathrm dt+cdots+int_(n-1)T^nTf(t),mathrm dt+int_nT^xf( t),mathrm dt \ &= nint_0^Tf(t),mathrm dt+int_0^x-nTf(t),mathrm dt. endalign$$ Si eliges $n=lfloor x/Trfloor$, y usas el hecho de que $f(t)=g(t)$ cuando $tin[0T)$estoseconvierteen$$int_0^xf(t)\mathrmdt=nTbarg+int_0^xbmodTg(t)\mathrmdt$$donde$barg$eselvalormediode$g$sobre$[0T)$(Estaesunadelasrazonesporlasquehiceceroenlosejemplosanterioresporloqueestetérminodesaparece)Entoncestodoloquerealmentenecesitasencontraranalíticamenteeslaintegralindefinidade$g$sobre$[0T)$Meimaginoquepuedeshaceresoespecialmenteconlasdefinicionessimplesanteriores[0T)$(ThisisonereasonwhyImadeitzerointheaboveexamplessothistermdropsout)Soallyoureallyneedtofindanalyticallyistheindefiniteintegralof$g$over$[0T)$Iimagineyoucandothatespeciallywiththesimpledefinitionsabove
Me voy a centrar en su ejemplo de diente de sierra:
Usualmente escribimos mod como este
$$ f(x)equiv f_cxmod 1 $$
o esto
$$ f(x)equiv f_cxpmod 1 $$
en matemáticas.
Otro problema es que normalmente solo usaría el operador mod para números enteros. No digo que lo que estás haciendo sea estrictamente incorrecto, pero me parece antinatural matemáticamente, donde el operador mod se usa en números enteros para construir aritmética como anillos. Consulte Wikipedia para obtener más información al respecto. También tendrá problemas en computadoras donde el operador mod generalmente se define solo para números enteros.
Diría que sus funciones no tienen una descripción “mejor” particular, pero algunas descripciones son mejores que otras. Lo “mejor” para la implementación en una computadora probablemente sería algo con muchas condiciones, como esto:
$$ f(x)=left{ beginmatriz …\ c(x+1)&, -1
Esta representación también muestra lo que pretendes, por lo que realmente no tiene nada de malo.
Matemáticamente, otras “buenas” representaciones tendrían que ver con expansiones infinitas, ya sea series de Taylor o series de Fourier. No estoy seguro de que haya una expansión adecuada de la serie de Taylor de estas funciones, y dado que se trata de ondas, la serie de Fourier es apropiada de todos modos. Sucede que la expansión de la serie de Forier de la función de diente de sierra se da en Wikipedia:
$$ f(x)=2sum_n=1^infty (-1)^(n+1) over n sin(nx), x – pi notin 2 pi mathbbZ $$
Si quisiera que los picos aparecieran en múltiplos de 1 en lugar de $pi$, solo sería cuestión de:
$$ f(x)=2sum_n=1^infty (-1)^(n+1) over n sin(n(2 pi x + 1)), x notin mathbbZ $$
Ahora, tanto esto como la forma condicional son bastante fáciles de integrar.
La onda cuadrada también es muy fácil de integrar: empieza por pensar en ella como una función constante. Debería obtener una onda triangular del mismo período. Tenga en cuenta que al final de cada “ciclo” debe obtener 0.
La onda triangular se integra mejor en secciones en la forma condicional. Deberías obtener parábolas segmentadas. Nuevamente, el final de cada ciclo debería darte 0.
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