Nuestros mejores programadores han agotado sus reservas de café, por su búsqueda noche y día por la resolución, hasta que Orlando halló el hallazgo en Beanstalk así que ahora la comparte aquí.
Solución:
Un rango de la matriz es probablemente el concepto más importante que aprendes en Álgebra de matrices. Hay dos formas de ver el rango de una matriz. Uno desde un escenario teórico y el otro desde un escenario aplicado.
Desde un escenario teórico, si decimos que un operador lineal tiene un rango $ p $, significa que el rango del operador lineal es un espacio dimensional $ p $. Desde el punto de vista del álgebra matricial, el rango de columna denota el número de columnas independientes de una matriz, mientras que el rango de fila denota el número de filas independientes de una matriz. Un hecho interesante, y creo que no obvio (aunque la prueba no es difícil) es que el rango de fila es el mismo que el de columna. Cuando decimos que una matriz $ A in mathbb R ^ n times n $ tiene rango $ p $, lo que significa es que si tomamos todos los vectores $ x in mathbb R ^ n times 1 $, luego $ Ax $ abarca un subespacio dimensional $ p $. Veamos esto en un escenario 2D. Por ejemplo, si
$ A = left ( begin array cc 1 y 2 \ 2 y 4 end array right) in mathbb R ^ 2 times 2 $ y deje que $ x = left ( begin array c x_1 \ x_2 end array right) in mathbb R ^ 2 times 1 $, luego $ left ( begin array c y_1 \ y_2 end array right) = y = Ax = left ( begin array c x_1 + 2x_2 \ 2x_1 + 4x_2 end array derecha) $.
El rango de la matriz $ A $ es $ 1 $ y encontramos que $ y_2 = 2y_1 $ que no es más que una línea que pasa por el origen en el plano.
Lo que ha sucedido es que los puntos $ (x_1, x_2) $ en el plano $ x_1 – x_2 $ se han mapeado todos en una línea $ y_2 = 2y_1 $. Mirando de cerca, los puntos en el plano $ x_1 – x_2 $ a lo largo de la línea $ x_1 + 2x_2 = c = text const $, se han mapeado en un solo punto $ (c, 2c) $ en el $ y_1 – y_2 $ avión. Entonces, el punto único $ (c, 2c) $ en el plano $ y_1 – y_2 $ representa una línea recta $ x_1 + 2x_2 = c $ en el plano $ x_1 – x_2 $.
Ésta es la razón por la que no se puede resolver un sistema lineal cuando tiene un rango deficiente. La matriz de rango deficiente $ A $ asigna $ x $ a $ y $ y esta transformación no está en (los puntos en el plano $ y_1 – y_2 $ no están en la línea $ y_2 = 2y_1 $ por ejemplo, $ (2,3) $ no están mapeado, lo que resulta en ninguna solución) ni uno a uno (cada punto $ (c, 2c) $ en la línea $ y_2 = 2y_1 $ corresponde a la línea $ x_1 + 2x_2 = c $ en el $ x_1 – x_2 $ plano, lo que da como resultado soluciones infinitas).
Una observación que puede hacer aquí es que el producto de las pendientes de la línea $ x_1 + 2x_2 = c $ y $ y_2 = 2y_1 $ es $ -1 $. Este es true en general también para dimensiones superiores.
De una configuración aplicada, el rango de una matriz denota el contenido de informacion de la matriz. Cuanto menor sea el rango, menor será el “contenido de información”. Por ejemplo, cuando decimos una matriz de rango $ 1 $, la matriz se puede escribir como un producto de un vector de columna por un vector de fila, es decir, si $ u $ y $ v $ son vectores de columna, la matriz $ uv ^ T $ es un clasificar una matriz. Entonces, todo lo que necesitamos para representar la matriz son $ 2n-1 $ elementos. En general, si sabemos que una matriz $ A in mathbb R ^ m times n $ es de rango $ p $, entonces podemos escribir $ A $ como $ UV ^ T $ donde $ U in mathbb R ^ m times p $ y es de rango $ p $ y $ V in mathbb R ^ n times p $ y es de rango $ p $. Entonces, si sabemos que una matriz $ A $ es de rango $ p $, todo lo que necesitamos son solo $ 2np-p ^ 2 $ de sus entradas. Entonces, si sabemos que una matriz es de rango bajo, entonces podemos comprimir y almacenar la matriz y podemos hacer operaciones matriciales eficientes usándola. Las ideas anteriores pueden extenderse a cualquier operador lineal y, de hecho, forman la base de varias técnicas de compresión. Es posible que también desee buscar la descomposición de valores singulares, que nos brinda una manera agradable (aunque costosa) de hacer aproximaciones de rango bajo de una matriz que permite la compresión.
Desde el punto de vista de la resolución de un sistema lineal, cuando la matriz cuadrada tiene un rango deficiente, significa que no tenemos información completa sobre el sistema, ergo, no podemos resolver el sistema.
El rango de una matriz es de importante importancia. Está estrechamente relacionado con la nulidad de la matriz (que es la dimensión del espacio de solución de la ecuación $ A mathbf x = mathbf 0 $), a través del Teorema de la dimensión:
Teorema de la dimensión. Sea $ A $ una matriz de $ m times n $. Entonces $ mathrm rango (A) + mathrm nulidad (A) = n $.
Incluso si todo lo que sabe acerca de las matrices es que se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones lineales, esto le dice que el rango es muy importante, porque le dice si $ A mathbf x = mathbf 0 $ tiene una sola solución o múltiples soluciones.
Cuando piensa en las matrices como transformaciones lineales (hay una correspondencia entre $ m times n $ matrices con coeficientes en un campo $ mathbf F $, y las transformaciones lineales entre un espacio vectorial dado sobre $ mathbf F $ de dimensión $ n $ con una base dada, y un espacio vectorial de dimensión $ m $ con una base dada), entonces el rango de la matriz es la dimensión de la imagen de esa transformación lineal.
La forma más sencilla de calcular la forma canónica de Jordan de una matriz (una forma importante de representar una matriz) es utilizar los rangos de ciertas matrices asociadas a $ A $; lo mismo es true para la Forma Canónica Racional.
Realmente, el rango se muestra por todas partes, generalmente es relativamente fácil de calcular y tiene muchas aplicaciones y propiedades importantes. Es probable que no sean completamente evidentes hasta que comiences a ver la miríada de aplicaciones de matrices a cosas como cálculo vectorial, álgebra lineal y similares, pero créeme, están ahí.
El rango de la matriz $ A $ es igual a la dimensión de la Imagen de $ A $ (que está dividida en columnas de $ A $), si esa es una explicación geométrica suficiente. Puede leer sobre los espacios vectoriales aquí y sobre la imagen de una matriz aquí.
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