Posteriormente a consultar con expertos en el tema, programadores de varias áreas y maestros hemos dado con la solución al dilema y la plasmamos en este post.
Solución:
Bueno, veo que esto ya ha sido respondido, pero tengo algo que agregar sobre cómo se podrían construir soluciones adicionales.
En particular, observé la construcción de soluciones analíticas, que funcionarán tanto en $mathbbC$ como en $mathbbR$. Supongamos que $f(x)$ tiene un punto fijo en $c$, entonces $f(c) = c$. Por la ecuación funcional, $f(f'(c)) = f'(f(c)) = f'(c)$, entonces $f'(c)$ es también un punto fijo de $f$, y por la misma lógica tenemos la secuencia $f'(f'(c)), f'(f'(f'(c))) …$ son todos puntos fijos de $f$. Esto no es agradable. Para simplificar, impongamos aún más la condición de que $f'(c) = f(c) = c$. Entonces podemos ver $f$ localmente alrededor de $c$, lo que nos permite ver $f$ como una serie de Taylor alrededor de $c$. Si derivamos $f'(f(x)) = f(f'(x))$, obtenemos la ecuación: $$ f”(f(x))f'(x) = f”(x ) f'(f'(x)) $$ que en $x = c$ nos dice $f”(c) f'(c) = f”(c) f'(c)$, que nos dice nada sobre $f”(c)$. Simplemente llamemos $lambda = f”(c)$. Podemos repetir este proceso, porque de hecho $c$ y $lambda$ determinan de forma única $f”'(c)$, siempre que $cne0,1$: $$ beginalign f” ‘(f(x)) f'(x)^2+f”(f(x))f”(x)&=f”'(x)f'(f'(x))+f ”(x)^2 f”(f'(x))\ f”'(c) c^2+lambda^2 &=f”'(c)c+lambda^3\ f”'(c) &=fraclambda^3 – lambda^2c^2 – c endalign $$ De manera similar podemos derivar $$ f^(4)( c) = frac(4lambda^2 – 3lambda(c+1))(lambda^3 – lambda^2)(c^3 – c)(c^2 – c) $$ y así sucesivamente. En general, usando la fórmula de Faa di Bruno, tendremos: $$ sum_k=1^nf^(k+1)(c)B_n,k(f'(c),f’ ‘(c),…,f^(n – k + 1)(c)) = sum_k=1^nf^(k)(c)B_n,k( f”(c),f”'(c),…,f^(n – k + 2)(c)) $$ donde $B_n,k$ son los polinomios de Bell incompletos . Estas ecuaciones resultan ser lineales en $f^n+1(c)$, y siempre que $|c| ne 0,1$ siempre tendrá una solución única en términos de las derivadas inferiores, por lo que $c$ y $f”(c) = lambda$ determinan de forma única una serie de Taylor para una función que resuelve $f'(f (x)) = f(f'(x))$: $$ f(x) = c + c(xc) + lambdafrac(xc)^22 + left(frac lambda^3 – lambda^2c^2 – c right)frac(xc)^36 + left(frac(4lambda^2 – 3lambda( c+1))(lambda^3 – lambda^2)(c^3 – c)(c^2 – c)right)frac(xc)^424 + . .. $$ Por supuesto, eso se limita a los casos en los que tiene $c in mathbbCsetminusztext $ tal que $c = f(c) = f'(c)$. Pero esto es bastante general; todas las soluciones analíticas anteriores son de hecho casos especiales excepto $f(x) = frac1x$. La solución $f(x) = n^-n+1 x^n$ corresponde a la elección de $c = n$ y $lambda = n-1$. La solución $f(x) = alpha e^x$ corresponde a $c = lambda = – W(-alpha)$, donde $W(z)$ es alguna rama de la función Lambert W (nótese que esta no es necesariamente real, por lo que opté por mantener $mathbbC$ en lugar de $mathbbR$). Las soluciones lineales corresponden a $lambda = 0$, y la cuadrática propuesta por Cameron Williams corresponde a $c = 1 + i$, $lambda = 1$. Podemos parametrizar las funciones solución, así que sea $f_c,lambda(x)$ la única solución con $f(c) = f'(c) = c$ y $f”(c) = lambda$. En este caso, $limlimits_trightarrow -1 f_t,t-1(x) = limlimits_trightarrow -1 t^-t + 1 x^t = frac1x$, por lo que esta es casi una solución de este tipo.
Esta pregunta parece que no tendrá una solución simple.
Como han señalado otros, hay un par de soluciones interesantes basadas en , como $f(x) = 0$ o $f(x) = e^x$ o $f(x) = (-1)^ n+1n^n+1x^-n$ o $f(x) = 1/x$ (aunque técnicamente la última no es una función de $mathbbR$ a $ mathbbR$).
Sin embargo, lo que no se ha hecho hasta ahora en los comentarios es caracterizar las soluciones observando los diversos valores que puede tomar $f circ f’$.
Por lo tanto, definamos $g = f circ f’ = f’ circ f$. Ahora, la razón por la que este problema parece no tener una solución simple es el hecho de que ya hay un montón de soluciones solo para el caso de $g = 0$, y no todas son suaves.
Para $g = 0$, una solución trivial sería la función $f = 0$. Sin embargo, si tomamos una función $h$ con soporte compacto cuya derivada está acotada, podemos considerar la función $f(x) := h(x – T)$ para algún $T in mathbbR$. Si establecemos $T$ lo suficientemente grande, $f$ toma cero para todos los valores de $f’$, satisfaciendo $f circ f’ = 0$. De manera similar, sabemos que $f$ está acotado dado que es continuo, lo que nos lleva a concluir que $f’ circ f = 0$ para T lo suficientemente grande. Esto significa que al tomar cualquier función diferenciable con soporte compacto y una derivada acotada , podemos desplazarlo lo suficiente hacia la derecha (o hacia la izquierda) para obtener una función que satisfaga la ecuación de la pregunta solo para el caso especial de $g=0$. Si no me equivoco, incluso hay funciones en $C^1(mathbb R)setminus C^2(mathbbR)$ con soporte finito y una derivada acotada, lo que significa que tenemos algunas “no -buenas” soluciones.entre el conjunto de soluciones.
Por supuesto que no es tan fácil encontrar soluciones para otros valores de $g$ como lo es para $g = 0$, pero creo que el hecho de que este caso especial ya tenga una variedad tan amplia de soluciones resalta el hecho de que este problema puede ser bastante difícil de resolver.
Comentarios y puntuaciones de la guía
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