Revisamos completamente cada secciones en nuestro sitio web con el objetivo de enseñarte en todo momento información con la mayor veracidad y actualizada.
Solución:
Langer y Singer, en su artículo, presentan la trébolque tiene la ecuación cartesiana
$$(x^2+y^2)^3=2(x^3-3xy^2)$$
y ecuación polar $r^3=2cos3theta$:
$hskip1.3in$
Usando la fórmula normal para determinar la longitud de arco de una curva polar, su longitud de arco total resulta ser
$$textLongitud de arco =sqrt3,pi_3=9.179724dots$$
Además, también presentan una parametrización de velocidad unitaria en términos de las funciones de Dixon. Dejando $sigma=operatornamesmdfracssqrt3$ y $chi=operatornamecmdfracssqrt3$, tenemos la parametrización de longitud de arco
$$f(s)=beginpmatrixdfrac3chisigma^42(chi^3sigma^3-1)\dfracsqrt3chi sigma(1+chi^3)2(1-chi^3sigma^3)endpmatriz$$
Consulte también este documento relacionado.
Para dejar mis comentarios claros:
-
Mira la ecuación diferencial $g'(x)^2 = 1-g(x)^n$. La solución depende únicamente de las condiciones iniciales. $(g(0),g'(0))$. la condición inicial $g(0) = 0$ implica $g'(0) pm 1$ y dos posibles soluciones reales. si para algunos $x_0 ne 0$después $g$ es periodico con periodo $x_0$ o $2 x_0$.
-
Dejar $$F_n(z) = int_0^z fracdssqrt1-s^n, quad G_n = F_n^-1, quad G_n'(z) = frac 1F_n'(G_n(z)), quad G_n'(z)^2 = 1- G_n(z)^n$$$G_n(x)$ es real para $x$ real y $G_n(0)=0$; por lo tanto, satisface la ecuación diferencial anterior.
-
Dejar $$omega_n = int_gamma fracdssqrt1-s^n$$ donde el contorno $gamma$ viene de $s=0$encierra el punto de bifurcación $s=1$ en el sentido de las agujas del reloj y vuelve a $s=0$con la rama de $sqrt1-s^n$ elegido de tal manera que permanezca analítico en este camino. Luego con un cambio de variable $s = G_n(u)$obtenemos
$$omega_n= int_0^x_0 fracG_n'(u)sqrt1-G_n(u)^ndu = x_0$$
Dónde $G_n(x_0) = G_n(0) = 0$ y por lo tanto $G_n$ es $2 x_0$-periódico. Pero elegir la rama de $sqrt1-s^n$ correctamente, tenemos la otra expresión
$$2omega_n = 2int_0^1+int_1^0 fracdssqrt1-s^n = 4 int_0^1 fracdtsqrt1-t^ n=4 int_0^1 fracv^1/n-1dvnsqrt1-v= frac4n B(1/2,1/ n)$$ -
$z mapsto (G_n(z),G_n'(z))$ parametriza la curva $ (x,y) en mathbbC^2, y^2 = 1-x^n$ y el periodo $2omega_n$ es la longitud de arco (?) de $ (x,y) en mathbbR^2, y^2 = 1-x^n$ en esas coordenadas.
Nos puedes apoyar nuestra investigación añadiendo un comentario o dejando una valoración te lo agradecemos.