Posteriormente a consultar con especialistas en esta materia, programadores de deferentes áreas y maestros dimos con la respuesta al problema y la compartimos en esta publicación.
Solución:
La conductividad térmica se define como una relación entre el flujo de energía y el gradiente de temperatura (hasta un factor). Si los fonones se mueven libremente, puede existir un flujo de energía arbitrario sin gradiente de temperatura (por lo que la velocidad finita del fonón no hace que la conductividad térmica sea definitiva). Consulte los detalles sobre el papel de la dispersión, por ejemplo, en http://www.physics.iisc.ernet.in/~aveek_bid/PH208/Lecture%208%20phonons-thermal%20properties.pdf
Se puede observar la propagación balística pero necesita condiciones especiales. Normalmente, el transporte es difuso. A bajas temperaturas, la dispersión está dominada por defectos en la red. Incluso los isótopos tienen un efecto, el diamante con un contenido reducido de $ ^ 13 $ C tiene una conductividad térmica más alta que el diamante con la composición de isótopos naturales. Esta dispersión determina el camino libre medio. Mientras que $ lambda_ free $ puede ser aproximadamente independiente de la temperatura a bajas temperaturas, la conductividad aumenta con la temperatura porque los fonones transportan más energía (proporcional a $ C_v $).
A altas temperaturas, la conductividad térmica disminuye debido al camino libre medio más corto causado por la interacción fonón-fonón. Cuando las variaciones en las longitudes de los enlaces atómicos aumentan, los términos anarmónicos se vuelven importantes. La ecuación de onda ya no es lineal, las ondas ya no se atraviesan entre sí, existe la probabilidad de que se creen nuevas ondas (fonones).
Como punto de partida, sugiero que eche un vistazo a la página de Wikipedia sobre física de transferencia de calor, dispersión de fonones y dispersión de Umklapp.
En general, la conductividad térmica $ kappa $ asociada a algún portador satisface
$$ kappa = frac 1 3 n c_v u lambda etiqueta 1 etiqueta 1 $$
donde $ n $ es la densidad del número de portadora, $ c_v $ es la capacidad calorífica por portadora, $ u $ es la velocidad de la portadora y $ lambda $ es la ruta libre media. El camino libre medio está relacionado con el tiempo de relajación de dispersión del portador $ tau $ por
$$ lambda = u tau etiqueta 2 etiqueta 2 $$
Puede interpretar $ tau $ como el tiempo promedio entre dos “colisiones” sucesivas (eventos de dispersión) del portaaviones. Por lo tanto, a partir de ref 1 y ref 2, se puede ver inmediatamente que en un cristal armónico perfecto infinito, en el que no se produce dispersión, $ kappa $ sería infinito, ya que no habría dispersión y por lo tanto $ tau = infty $ (en un cristal finito, aún tendrías dispersión desde los límites).
En un sistema físico realista, los fonones están dispersos por otros fonones, electrones, defectos (impurezas) y límites. Para tener en cuenta estos efectos, debe dejar la aproximación armónica y considerar también términos anarmónicos en el hamiltoniano. Fue mostrado por Pierls [a] que es la anarmonicidad, junto con la naturaleza discreta de la red cristalina, lo que genera la resistencia térmica.
En particular, cuando se habla de la dispersión de fonón-fonón y fonón-electrón, generalmente se hace una distinción entre procesos “normales”, que conservan el vector de onda total, y procesos “Umklapp” (o procesos U), donde el vector de onda total se cambia por un vector reticular recíproco. Para saber más sobre esta distinción y su (discutible) utilidad, puede echar un vistazo aquí.
Todos estos eventos contribuyen al tiempo de relajación $ tau $, y sus contribuciones se tienen en cuenta mediante la regla de Matthiessen, que establece que el tiempo de relajación total $ tau $ se puede calcular como
$$ frac 1 tau = sum_i frac 1 tau_i $$
donde $ tau_i $ son los tiempos de relajación asociados a los diferentes eventos de dispersión posibles. Así es como, “matemáticamente”, los eventos de dispersión influyen en la conductividad térmica de un material.
¿Cómo explica esta imagen del fonón el hecho de que cuando calentamos un conductor defectuoso, el calor se propaga gradualmente desde el extremo más caliente al más frío? Si son excitaciones colectivas deslocalizadas, ¿no deberían calentar todas las partes de la sustancia al mismo tiempo?
Creo que aquí la respuesta es simplemente que necesitas algo de tiempo para que se establezca la “excitación colectiva deslocalizada” de la que estás hablando. Esto debe ser true incluso para un cristal perfecto, incluso si su conductividad térmica infinita pareciera sugerir lo contrario, de lo contrario tendríamos la propagación instantánea de una señal (la vibración de los átomos). Piensas en los fonones como “excitación colectiva deslocalizada”, pero en realidad son mucho más similares a los paquetes de ondas que surgen de una superposición de estas excitaciones colectivas (la modos normales del cristal). Quizás no estoy siendo 100% preciso en mi terminología aquí, pero espero haber logrado transmitir el significado general de lo que tengo en mente.
Referencias
[a] R. Peierls, “Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen” (“Sobre la teoría cinética de la conducción térmica en los cristales”) Ann. Phys. 395, 1055-1101 (1929)
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