Después de tanto batallar pudimos dar con la solución de este asunto que ciertos lectores de este sitio web tienen. Si quieres aportar algún dato no dejes de dejar tu comentario.
Solución:
Existe un límite en cuanto a lo pequeño que puede enfocar un rayo láser monomodo ideal. El producto del semiangulo de divergencia $ Theta $ y el radio $ w_0 $ del haz en su cintura (punto más estrecho) es constante para cualquier haz dado. (Esta cantidad se llama producto de parámetro de haz, y está relacionado con el $ M ^ 2 $ medida de la calidad del haz de la que quizás haya oído hablar). Para un haz gaussiano ideal (“con difracción limitada”), es:
$$ Theta w_0 = lambda / pi $$
Entonces, para responder lo que interpreto como su pregunta principal:
Digamos que tengo un rayo láser de cierta potencia que comienza con un diámetro $ D_0 $ en el punto de emisión y aumenta a $ D_f $ a cierta distancia $ r $ lejos. ¿Sería esta información suficiente para implicar un límite a la potencia por unidad de área (W / m ^ 2) que podría obtenerse mediante el enfoque y cuál sería?
La respuesta es no.
Los parámetros que ha proporcionado son suficientes para calcular $ Theta $, pero solo si $ r $ es lo suficientemente grande como para que los puntos en los que mida el diámetro estén en el campo lejano de cada uno.
También necesitaría conocer el radio del haz en la cintura para poder calcular el producto del parámetro del haz. Luego, para obtener el tamaño de punto mínimo, necesitaría volver a enfocar el haz para que sea máximamente convergente. El límite absoluto es el semiangulo de divergencia ficticia de $ pi / 2 $, o 90 grados, aunque en la práctica la teoría se descompone para medios ángulos de más de 30 grados (este número es de Wikipedia) ya que la aproximación paraxial deja de ser válida. Para una viga ideal en este semi-ángulo de apertura imposible, esto le da un radio mínimo de cintura de $ 2 lambda / pi ^ 2 $. Entonces sí, depende de la longitud de onda.
¿Qué características y enfoques de la lente buscaría alguien para hacer esto con un puntero láser?
Necesita una lente con una distancia focal muy corta. Esto le brinda la mayor convergencia. Tenga en cuenta que cuanto más convergente sea la viga y menor sea el tamaño de la cintura, menor será el rango de Rayleigh. Es decir, el radio del haz será muy pequeño, pero no Quédate muy pequeño, se agrandará muy rápidamente a medida que se aleje del foco. (El rango de Rayleigh es la distancia sobre la cual el radio del haz aumenta en $ sqrt 2 $.
Además, pensar en un rayo gaussiano como “recto” no es del todo correcto. Siempre hay una cintura, siempre un rango de Rayleigh menor que infinito y siempre un ángulo de divergencia distinto de cero.
EDITAR
Además, es importante darse cuenta de que hay ninguna diferencia entre un rayo gaussiano enfocado y desenfocado. Reenfocar un rayo gaussiano con una lente simplemente mueve y cambia el tamaño de la cintura.
El tamaño de apertura del láser es no lo mismo que el tamaño de la cintura. Si el haz está más o menos colimado, entonces la apertura seguirá siendo mayor, porque el radio de la cintura generalmente se define en términos del radio en el que la intensidad cae a $ 1 / e ^ 2 $ de su valor máximo. Si el rayo está cortado por una apertura en ese radio, entonces incluso si estuviera cerca de la difracción limitada, ciertamente ya no lo estaría. Entonces, las aperturas son siempre más grandes.
La cintura es el punto más delgado de la viga. Por lo general, este punto está dentro de la cavidad del láser, o fuera del láser si hay ópticas de enfoque involucradas, lo que a menudo ocurre. Aún así, la respuesta a tu pregunta es no. No te falta la definición de $ lambda $; más bien, está comparando su radio mínimo de cintura con el valor de $ 2 lambda / pi ^ 2 $ que dije que era “imposible”. Lo llamé imposible, porque para hacer que un haz converja con tanta fuerza, ¡necesitaría una lente con una distancia focal de cero!
Probemos con un ejemplo más realista con algunos números. Tome su puntero láser rojo con $ lambda $ = 671 nm. Los rayos del puntero láser suelen ser una porquería, pero no tanto como podría pensar, si son monomodo. Supongamos que este puntero láser en particular tiene un $ M ^ 2 $ (“parámetro de calidad del haz”, que es el producto del parámetro del haz dividido por el producto ideal del parámetro del haz de $ lambda / pi $) de 1,5. Una búsqueda rápida en Google no me dio la típica $ M ^ 2 $s de punteros láser rojos, pero esto no me parece estar demasiado fuera de lugar.
Tenga en cuenta que si conoce el $ M ^ 2 $ y mida la divergencia de una viga, luego puede calcular el radio de la cintura. Vamos a hacer eso ahora. Suponga que el rayo del puntero láser está casi colimado: mide una divergencia de 0,3 milirradianes, aproximadamente 0,017 grados. Entonces el tamaño de la cintura es
$$ w_0 = frac M ^ 2 lambda pi Theta = frac 1.5 times 671 times 10 ^ – 9 pi times 3 times 10 ^ – 4 approx 1 , text mm. $$
En este caso, probablemente diseñaron el puntero láser con un radio de apertura de 2 o 3 mm.
Ahora suponga que enfoca su rayo colimado con una lente positiva de distancia focal de 1 cm, que es una lente bastante fuerte. La nueva cintura del rayo estará a la distancia focal de la lente. Eso significa que puede calcular el semángulo de divergencia: es el ángulo agudo más pequeño de un triángulo rectángulo con catetos de 1 mm y 10 mm. Entonces,
$$ tan Theta = 1/10, $$
o $ Theta approx $ 6 grados. Al aplicar la fórmula una vez más para calcular la cintura, se obtiene un radio de cintura de 3,2 micrones, que es bastante pequeño.
Un puntero láser “seguro” puede tener una potencia de 1 mW. La intensidad máxima es igual a $ 2P / pi w_0 ^ 2 $, por lo que antes de la lente, la intensidad máxima es de aproximadamente 600 W / m ^ 2. Después de la lente, es aproximadamente 100000 veces más grande.
Entonces, para resumir:
- sí, hay un límite fundamental para la intensidad, y depende de la longitud de onda, pero ni siquiera puedes acercarte con un puntero láser barato del mundo real.
- necesita conocer dos de cualquiera de estas cantidades: semiangulo de divergencia, radio de cintura, rango de Rayleigh, producto de parámetro de haz.
- en realidad, el tamaño mínimo y la intensidad máxima dependen en gran medida de la óptica que utilice y de su calidad.
Comenzaré con un ejemplo específico. Aquí hay un puntero láser que puede comprar en línea.
- El costo es de $ 12.50
- 1,0 mRad = 0,05 grados
- longitud de onda: 645 nm
- salida 5 mW
- diámetro del haz: 1,1 mm
Ahora, estoy teniendo grandes dificultades con este problema, y todavía estoy en desacuerdo con lo que ha escrito ptomato, así como con muchas otras cosas que encuentro en línea. Mi pregunta, sin embargo, sigue siendo objetiva y definible, que es más o menos “¿Puede el láser anterior cortar acero con la lente adecuada?” Anonymous Coward dio una buena referencia, que es una guía para la óptica gaussiana. Este documento utiliza 1983 Sidney A. Self, Enfoque de haces esféricos gaussianos como referencia principal. Las ecuaciones son las mismas en todas partes y son congruentes con lo que encuentra en los enlaces anteriores de Wikipedia y demás.
El problema es que parecen seguir dando ecuaciones para un caso limitado de difracción, sin decir nada para identificar claramente de qué están hablando. En un caso limitado de difracción por supuesto que necesitas la longitud de onda, pero mi anticipación es que un láser de $ 12.50 no tendrá una difracción limitada.
No obstante, seguiré analizando algunas de las ecuaciones aquí.
Para empezar, el radio de la cintura se denota $ omega_0 $, que es el radio en la intensidad de $ 1 / e ^ 2 $ como se señaló anteriormente, y el medio ángulo de divergencia se denota $ Theta $. Para este dispositivo en particular, se conocen esos valores. Consulte la página 5 de la guía, señala la ubicación de la cintura del rayo generalmente está diseñada para estar cerca de la superficie de salida del láser. Asumiré que se trata de un rayo gaussiano real y, por lo tanto, no trabajaré con la apertura. Nuevamente, haz gaussiano, no limitado por difracción y altamente imperfecto. Todavía me veré obligado a tomar el “diámetro del haz” reportado como el representante del radio $ 1 / e ^ 2 $, además de estar en la cintura. Esto podría ser bastante incorrecto, pero solo por el mismo factor que mi respuesta.
$$ omega_0 = 0.6 mm $$ $$ Theta = 0.001 rad $$
La literatura entra en la definición de varios otros valores, así como en una expresión para $ Theta $ en sí. Consulte la página 3 de la guía para obtener la siguiente ecuación sin $ M ^ 2 $.
$$ Theta = frac M ^ 2 lambda pi omega_0 $$ $$ M ^ 2 = frac Theta pi omega_0 lambda = 2.94 approx 3.0 $$
Estoy de acuerdo con este valor. No espero que obtenga un buen láser. A continuación, el rango de Rayleigh, $ z_R $ es un valor aproximado más allá del cual la aproximación de la lente lejana es válida. Creo que podría necesitar $ M ^ 2 $, pero realmente no lo sé.
$$ z_R = frac pi omega_0 ^ 2 lambda $$
Solo quería tirar eso por ahí. La guía tiene ecuaciones sobre cómo calcular las ecuaciones de la lente, así como el factor de aumento, pero no puedo entender cómo las ecuaciones implican que no puede enfocar esto en un punto finito con una lente lo suficientemente grande. Sé que esto no es posible, así que no tuve más remedio que aplicar un enfoque de nivel secundario al problema.
A continuación se muestra mi ilustración de un haz de rayos 100% colimados (estoy hablando de la física newtoniana aquí), y la primera línea vertical es una lente hipotética perfecta, que convergería perfectamente en la siguiente línea vertical. Si los rayos que ingresan estuvieran perfectamente colimados, entonces los rayos convergerían exactamente en un solo punto, pero sabemos que no es así debido al ángulo de divergencia.
- El radio del haz es de 0,6 mm
- $ 2 Theta = 0.001 rad $
Una vez más, voy a actuar como un estudiante de física de secundaria, fingiré que ni siquiera sé qué es la longitud de onda y usaré la geometría. Asumiré que el ángulo en el que se desvían los haces más lejanos es de 45 grados, y denotaré las cosas sobre el área en la que se enfoca como $ dot $.
$$ r_ dot = ( sqrt 2 omega_0) ( Theta) sqrt 2 = 0.0011 mm = 1.1 mu m $$ $$ A_ dot = 1.21 mu m ^ 2 $$
Ahora, para la potencia por unidad de área, usaré $ Phi $.
$$ Phi = frac P A = 4.13 frac GW m ^ 2 $$
¿Qué temperatura podría alcanzar esto? Solo asumiré disipación de la radiación del cuerpo negro por ahora (reverso del sobre).
$$ Phi = sigma T ^ 2 $$
Donde $ sigma = 5.67 times 10 ^ – 8 W m ^ – 2 K ^ – 4 $.
$$ T = 16,500 K $$
También me gustaría hacer esto para la ecuación de conducción radial. Quizas mas tarde.
La fórmula que relaciona el desperdicio del haz y la apertura numérica de un haz gaussiano es:
$$ w_0 approx frac lambda pi ; , mathrm NA $$
La apertura numérica más alta que podría soñar con encontrar, con una buena lente de inmersión en aceite, está en el vecindario de 1.5 (un poco más o menos, no lo sé). (Sin inmersión en aceite, la apertura numérica es siempre menor que 1.) Entonces obtenemos:
$$ w_0 gtrsim frac lambda 1.5 pi $$
Por lo tanto, puede enfocar un haz de 645 nm (si es gaussiano ideal) a un área de aproximadamente $ pi w_0 ^ 2 gtrsim 0.05 mu mathrm m ^ 2 $. Si la potencia es de 5 mW, obtengo $ 100 , mathrm GW / mathrm m ^ 2 $, o 100 millones de veces más brillante que la luz del día.
La cifra real de un puntero láser barato es menor, porque $ M ^ 2> 1 $.
En la práctica, para un láser de diodo, lo mejor es usar primero una lente cilíndrica débil para que el punto sea más redondo. [all diode lasers have a built-in cylindrical lens, but in my experience the spot is still slightly elliptical]y, a continuación, utilice un objetivo de microscopio resistente (inmersión en aceite si es posible) para enfocar con la mayor precisión posible. Además, coloque un telescopio de dos lentes antes de la lente del objetivo para expandir o contraer el haz de modo que llene exactamente la apertura de entrada de la lente del objetivo. En realidad, tal vez no debería usar una lente de inmersión en aceite, ¡podría quemar el aceite! No intentes esto en casa…