Si hallas alguna incompatibilidad en tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes aplicar el código al proyecto final.
Solución:
Una definición intuitiva es la siguiente. Multiplica cualquier vector con una matriz semidefinida positiva. El ángulo entre el vector original y el vector resultante siempre será menor o igual a $fracpi2$. La matriz definida positiva trata de mantener el vector dentro de un cierto medio espacio que contiene el vector. Esto es análogo a lo que le hace un número positivo a una variable real. Multiplícalo y solo estira o contrae el número pero nunca lo refleja sobre el origen.
Primero les diré cómo pienso acerca de las matrices definidas positivas hermitianas. Una matriz definida positiva hermitiana $M$ define un producto interno sesquilineal $langle Mv, w rangle = langle v, Mw rangle$, y de hecho todo producto interno en un espacio de producto interno de dimensión finita $V$ tiene esta forma. En otras palabras, es una forma de calcular ángulos entre vectores, o una forma de proyectar vectores sobre otros vectores; sobre los números reales es el key ingrediente para hacer geometría euclidiana. Se puede recuperar un producto interno de la norma $langle Mv, v rangle = langle v, Mv rangle$ que induce, y a su vez se puede recuperar una norma de su esfera unitaria $ v : langle Mv, v rango = 1 $. Esta esfera unitaria es una versión distorsionada de la esfera unitaria habitual; las distorsiones ocurrirán a lo largo de los ejes correspondientes a los vectores propios de $M$, y la cantidad de distorsión corresponde a los (inversos de) los valores propios correspondientes. Por ejemplo cuando $dim V = 2$ es una elipse y cuando $dim V = 3$ es un elipsoide.
Una matriz semidefinida positiva hermítica $M$ ya no describe un producto interno porque no es necesariamente definida positiva, pero sigue definiendo una forma sesquilineal. También define una función $langle Mv, v rangle$ que ya no es una norma porque no es necesariamente positiva definida; algunas personas las llaman “pseudonormas”, creo. La esfera unitaria correspondiente $ v : langle Mv, v rangle = 1 $ ahora podría tener dimensiones más bajas que la esfera unitaria habitual, dependiendo de cuántos valores propios sean iguales a cero; por ejemplo, si $dim V = 3$ podría ser un elipsoide, una elipse o dos puntos.
Consideremos el conjunto $E$ de todos los vectores $y=Mx$, donde $xinmathbb R^n$ pertenece a la esfera unitaria (es decir, $|x|=1$). En otras palabras, $E$ es la imagen de la esfera unitaria bajo la transformación lineal. Si la matriz no es degenerada, $E$ es un elipsoide de $n$ dimensiones. Pero si asumimos además que $M$ es simétrico, entonces podemos decir mucho más sobre la estructura de $E$. Es decir, las direcciones de los ejes del elipsoide son ortogonales por pares y están representadas por los vectores propios de la matriz. Además, las longitudes de los semiejes están dadas por los valores propios correspondientes.
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