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Solución:
Sea $X=(x_i)_1leq ileq n in calM_n,1(mathbbR).$ Tenemos $$ ^tXAX=sum_ 1leq i,jleq nfracx_ix_ji+j-1=sum_1leq i,jleq nx_ix_jint_0^1t^i+j-2 dt=int_0^1left(sum_i=1^nx_it^i-1right)^2dt>0 $$ para $Xneq0$, dando el resultado anunciado ya que $A$ es simétrico .
Sea $H_n$ la matriz de Hilbert de n-ésimo orden. Para demostrar que $H_n$ tiene una definición positiva, basta con demostrar que todos los determinantes menores principales de $H_n$ son positivos. Digamos, $det(H_m)>0$ para todo $0leq mleq n$. Este es true por las propiedades de la matriz de Hilbert. (ver Matriz de Hilbert).
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