Solución:
Por desgracia, no hay “triplex” algebraicamente coherentes. El siguiente paso en la construcción como ya se ha dicho son los “cuaterniones” con 4 dimensiones.
Muchos jóvenes aspirantes a matemáticos han intentado encontrarlos desde Hamilton en el siglo XIX. Esta imposibilidad vincula la dimensionalidad geométrica, las propiedades fundamentales de las ecuaciones polinomiales, los sistemas algebraicos y muchos otros aspectos de las matemáticas. Realmente vale la pena estudiarlo.
Un libro bastante reciente de matemáticos modernos que detalla todo esto para estudiantes universitarios avanzados es Numbers de Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, Koecher, Mainzer, Neukirch, Prestel, Remmert y Ewing.
Sin embargo, el conjunto de cuaterniones con parte real cero es un interesante sistema de dimensión 3 con propiedades muy interesantes, ligadas a la composición de rotaciones en el espacio.
También puede encontrar de interés algunos resultados más generales además del mencionado Teorema de Frobenius. Weierstrass (1884) y Dedekind (1885) demostraron que cada anillo de extensión conmutativa de dimensión finita de $ mathbb R $ sin nilpotentes$ x ^ n = 0 , Flecha derecha , x = 0 $) es isomorfo como un anillo a una suma directa de copias de $ rm , mathbb R , $ y $ rm , mathbb C. , $
Wedderburn y Artin demostraron una generalización de que cada álgebra asociativa de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre un campo $ rm , F , $ es una suma directa finita de campos.
Estos resultados de la teoría de la estructura simplifican enormemente la clasificación de tales anillos cuando surgen en la naturaleza. Por ejemplo, apliqué un caso especial de estos resultados la semana pasada para demostrar que un anillo finito es un campo si sus unidades $ cup 0 $ comprenden un campo de características $ ne 2. , $ Para otro ejemplo, un lector de ciencia matemática una vez propuso una extensión de los números reales con múltiples “signos”. Este resulta ser un caso muy simple de los resultados anteriores. A continuación se muestra mi publicación de sci.math 2009.6.16 sobre estos números de “PolySign”.
Los resultados en el artículo de Eitzen Understanding PolySign Numbers the Standard Way, caracterizando los llamados números PolySign de Tim Golden como sumas directas de anillo de $ mathbb R $ y $ mathbb C $, se conocen desde hace más de siglo y medio. Es decir, que $ rm , P_n = , mathbb R[x]/ (1 + x + x ^ 2 + , cdots , + x ^ n-1) $ es isomorfo a un cierto anillo suma directa de $ , mathbb R $ y $ , mathbb C, , $ es solo un caso especial de resultados más generales debido a Weierstrass y Dedekind en la década de 1860. Estos resultados clásicos son tan conocidos que los encontrará mencionados incluso en muchos libros de texto elementales sobre sistemas numéricos y sus generalizaciones. Por ejemplo, en Números por Ebbinghaus et.al. p.120:
Weierstrass (1884) y Dedekind (1885) demostraron que toda extensión de anillo conmutativa de dimensión finita de R con elemento unitario pero sin elementos nilpotentes, es isomorfa a una suma directa de anillo de copias de R y C.
Lo mismo ocurre con las exposiciones históricas, por ejemplo, la de Bourbaki. Elementos de la historia de las matemáticas, pag. 119:
Hacia 1861, Weierstrass, haciendo una observación precisa de Gauss, había caracterizado en sus conferencias las álgebras conmutativas sin elementos nilpotentes sobre R o C como productos directos de campos (isomorfos a R o C); Dedekind, por su parte, había llegado a las mismas conclusiones alrededor de 1870, en relación con su concepción “hipercompleja” de la teoría de los campos conmutativos, sus pruebas fueron publicadas en 1884-85. [1,2]. […] Estos métodos se basan sobre todo en la consideración del polinomio característico de un elemento del álgebra en relación con su representación regular (un polinomio ya encontrado en el trabajo de Weierstrass y Dedekind antes citado) y en la descomposición del polinomio en factores irreductibles.
Hoy en día estos resultados fundamentales son simplemente casos especiales de teorías de estructura más generales para álgebras que forman parte de cualquier primer curso de álgebras (pero no siempre se cumplen en un primer curso de álgebra abstracta). Una búsqueda en la web muestra más información sobre el historial posterior, por ejemplo, extraído de
YM Ryabukhin, Álgebras sin elementos nilpotentes, I,
Álgebra i Logika, vol. 8, núm. 2, págs. 181-214, marzo-abril de 1969
http://www.springerlink.com/index/3Q765670P5571176.pdf
Las álgebras sin elementos nilpotentes se han estudiado hace mucho tiempo. Así, Weierstrass caracterizó en sus conferencias de 1861 álgebras asociativas-conmutativas de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre el campo de números reales o complejos como sumas finitas directas de campos. Para ser exactos, se han impuesto algunas restricciones no esenciales. En 1870, Dedekind eliminó esas restricciones no esenciales. El siguiente teorema de Weierstrass-Dedekind ahora se considera clásico: todo álgebra asociativa-conmutativa de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre un campo F es una suma directa finita de campos. Los resultados de Weierstrass y Dedekind (para el caso en que F es el campo de números complejos o reales) se han publicado en [1,2]. Los resultados de las obras de Molien, Cartan, Wedderburn y Artin [3-6] implican que el teorema de Dedekind es válido para cualquier campo F. Además, el siguiente teorema de Wedderburn-Artin es válido: todo álgebra asociativa de dimensión finita sin elementos nilpotentes sobre un campo F es una suma directa finita de campos “. […]
- K. Weierstrass, “Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen”, Gott. Nachr. (1884).
- R. Dedekind, “Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen”, Gott. Nachr. (1885).
- F. Molien, “Ueber Systeme hoherer complexer Zahlen”, Matemáticas. Ann., XLI, 83-156 (1893).
- E. Cartan, “Les groupes bilineaires et les systemes de nombres complexes”, Ann. Fac. Sci., Toulouse (1898).
- J. Wedderburn, “Sobre números hipercomplejos”, Proc. London Math. Soc. (2), VI, 349-352 (1908).
- E. Artin, “Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen”, Abh. Matemáticas. Seco. Univ. Hamburgo, 5, 251-260 (1927).
y extraído de su secuela
YM Ryabukhin, Álgebras sin elementos nilpotentes, II,
Álgebra i Logika, vol. 8, núm. 2, págs. 215-240, marzo-abril de 1969
http://www.springerlink.com/index/BQ2L50708GL150J0.pdf
En [1] probamos teoremas estructurales sobre la descomposición de álgebras sin elementos nilpotentes en sumas directas de álgebras de división; se impusieron ciertas condiciones de cadena a estas álgebras.
Sin embargo, también es posible probar teoremas estructurales sin imponer ninguna condición de cadena. En este caso, las sumas directas se reemplazan por sumas subdirectas y, en lugar de álgebras de división, consideraremos álgebras sin divisores cero.
El primer teorema estructural de este tipo es aparentemente el teorema clásico de Krull. [2]:
Cualquier anillo asociativo-conmutativo sin elementos nilpotentes se puede representar mediante una suma subdirecta de anillos sin divisores cero. El teorema de Krull se extendió posteriormente al caso de cualquier anillo asociativo. Esto fue hecho por varios autores y en varias direcciones. En [3]Thierrin se acercó mucho a una generalización final del teorema de Krull al caso asociativo, pero no conmutativo. El resultado final se obtuvo en [4]:
Cualquier anillo asociativo sin elementos nilpotentes se puede representar mediante una suma subdirecta de anillos sin divisores cero. En la Novena Conferencia de toda la Unión sobre Álgebra General (celebrada en Gomel ‘), IV L’vov informó un resultado aún más fuerte:
Cualquier anillo alternativo sin elementos nilpotentes puede representarse mediante una suma subdirecta de anillos sin divisores cero.
Se podría suponer que el teorema de la descomposición en una suma subdirecta de álgebras sin divisores cero es válido para cualquier anillo. Sin embargo, esta suposición es errónea (ver [1]), ya que existe un álgebra de Jordan especial y simple de dimensión finita sin elementos nilpotentes que tiene divisores cero y, por lo tanto, no puede descomponerse en una suma subdirecta de álgebras (o anillos) sin divisores cero.
Naturalmente, surge la siguiente pregunta: ¿qué condiciones debe cumplir un anillo sin elementos nilpotentes para permitir su representación mediante una suma subdirecta de anillos sin divisores cero?
En este artículo respondemos a esta pregunta:
Un álgebra R sobre un anillo asociativo-conmutativo F con unidad se puede representar por una suma subdirecta de anillos sin divisores cero, si es un álgebra condicionalmente asociativa sin elementos nilpotentes.
Recordemos que se dice que un álgebra R es condicionalmente asociativa, si si tenemos en R la identidad condicional x (yz) = 0 sif (xy) z = 0.
Decimos que un álgebra (no necesariamente asociativa) R no tiene elementos nilpotentes, sif en R tenemos la identidad condicional x ^ 2 = 0 sif x = 0.
De este teorema obtenemos fácilmente los resultados de [2-4], así como el resultado de L’vov (basta tomar como anillo F el anillo Z de enteros). […]
- Yu. M. Ryabukhin, “Álgebras sin elementos nilpotentes, I”, este número, págs. 215-240.
- W. Krull, “Representaciones subdirectas de sumas de dominios integrales”, Matemáticas. Z., 52, 810 – 823 (1950).
- J. Thierrin, “Ideales completamente simples de un anillo”, Acad. Belg. Toro. C1. Sci., 5 N 43, 124 – 132 (1957).
- VA Andrunakievich y Yu. M. Ryabukhin, “Anillos sin elementos nilpotentes en ideales completamente simples”, DAN SSSR, 180, No. 1, 9 (1968).
Cada álgebra de división de dimensión finita sobre $ mathbb R $ es una de $ mathbb R $, $ mathbb C $ o $ mathbb H $. Esto es lo que se llama el teorema de Frobenius. Puede consultar aquí para obtener más detalles.
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