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Solución:
Un clásico: Fija un entero positivo $n$. Muestre que es posible colocar mosaicos en cualquier cuadrícula de $2^n times 2^n$ con exactamente un cuadrado eliminado usando mosaicos en forma de ‘L’ de tres cuadrados.
Sirve como un maravilloso ejemplo introductorio a la demostración por inducción. De hecho, la prueba casi se puede representar con dos cifras apropiadas. Sin embargo, para aquellos que solo están aprendiendo inducción, es un problema importante donde la aplicación de la hipótesis inductiva está lejos de ser obvia.
El espacio de Tsirelson (1974) es un buen ejemplo de la teoría del espacio de Banach. Su espacio es la terminación de un $c_00$ (todas las secuencias escalares con soporte finito) bajo una norma definida inductivamente. La norma base es la norma supletoria $|cdot |_0$.
Para $n in mathbbN$ la norma $|x|_n+1$ norma está definida por
$ |x|_n+1= sup_n $
donde el supremo se toma sobre todos los conjuntos $(E_i)_i=1^k$, donde $E_i$ es un intervalo finito en $mathbbN$, $max E_i < min E_i+ 1$ y $k leq E_1$ (aquí $Ex$ denota la restricción de $x$ a las coordenadas de $E$). La norma de Tsirelson es $|x|_T = sup_n |x|_n$ y satisface la siguiente ecuación implícita
$ |x|_T= max ( |x|_0 , sup frac12 sum^k_i |E_ix|_T ).$
El espacio $T$ no contiene una copia de ningún $ell_p$ o $c_0$. Esto resolvió un gran problema abierto en ese momento (debo señalar que Tsirelson en realidad definió el dual de $T$ que también tiene la propiedad).
El método inductivo que ideó para producir este espacio finalmente condujo a la solución de numerosos problemas en la teoría del espacio de Banach (muy numerosos para mencionar). Además, la ‘necesidad’ de la construcción inductiva para producir espacios que no contengan ningún $ell_p$ de $c_0$ es un problema que ha sido considerado por Gowers como un proyecto polifacético (desafortunadamente no hay mucho progreso aquí): http://gowers .wordpress.com/2009/02/17/must-an-explicitly-defined-banach-space-contain-c_0-or-ell_p/
Consulte el sitio web de Boris Tsirelson para obtener más información sobre su espacio: http://www.math.tau.ac.il/~tsirel/Research/myspace/main.html
La Torre de Hanoi de nivel $n$ se puede resolver en movimientos de $2^n – 1$.
La inducción no solo demuestra esto, ¡sino que te muestra la solución!
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