Brenda, miembro de este gran staff, nos hizo el favor de redactar esta crónica porque conoce a la perfección el tema.
Solución:
$e$ es tan importante como $pi$ en matemáticas y tiene usos en casi todos los campos. Por ejemplo, $$e=limlimits_xto inftyleft(1+dfrac1xright)^x$$ Uno de los ejemplos más bellos de su importancia sería relacionar funciones trigonométricas a funciones hiperbólicas usando la identidad: $$e^ix = cos(x)+isin(x)$$ Por ejemplo: $$sin(x)=dfrace^ix -e^-ix2i$$ El uso de estas identidades puede simplificar enormemente el cálculo de antiderivadas de funciones racionales que involucran funciones trigonométricas.
También se debe notar la belleza de: $$e^ipi+1=0$$ $e$ se usa para calcular el interés compuesto de una cuenta bancaria que se capitaliza continuamente.
Muchas transformaciones integrales, como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, utilizan e para mapear una función en diferentes dominios para simplificar su cálculo.
$e$ se puede utilizar para parametrizar la hipérbola unitaria. $e$ también define la función factorial o, más generalmente, la función gamma que tiene usos en todas las matemáticas. Los usos de $e$ parecen infinitos ya que el número sigue apareciendo en todas partes en matemáticas en todo tipo de problemas.
$e$ es fundamental en matemáticas. Aparte de las asombrosas propiedades de $e$, como $e^i pi+1=0$ y el hecho de que $$fracddx e^x=e^x,$$ también se encuentra en ecuaciones que se relacionan directamente con fenómenos cotidianos. Por ejemplo, la distribución normal está representada por la función de densidad de probabilidad $$f(x)=frac1sqrt2 pie^-frac12x^2 . $$ También aparece en la ley de enfriamiento/calentamiento de Newton, en la solución de la ecuación diferencial $$fracdTdt=-k(T-T_0).$$
Junto a estos, $e$ aparece en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales que modelan cualquier cosa, desde circuitos eléctricos hasta sistemas de masa-resorte. En cuanto a cómo demostró Euler que $$e=sum_n=0^inftyfrac1n!$$, no estoy seguro.
La identidad de Eular aparece en todas partes, en cálculo, ecuaciones diferenciales e incluso probabilidades. Por ejemplo, en la teoría elemental de la probabilidad, aparece en la fórmula general de distribución de Poisson que se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que conocemos la velocidad a la que ocurre $$P(X=k)=frac lambda^kk! e^-lambda$$
Además, las identidades hiperbólicas se definen en términos de e.
Hay tantas aplicaciones para e, que casi puedo escribir un libro completo sobre él (y probablemente alguien lo haya hecho). Es muy importante que te sientas cómodo con él, ya que si estuvieras haciendo matemáticas, aparecerá en todas partes.