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Solución:
Parece lo siguiente.
creo que un key la pregunta es: ¿qué tan lejos de cero puede estar una función $f$ que tiene la aproximación cero? La respuesta depende de por qué características de $f$ ligamos su norma $|f|=max_xin [a,b] f(x)$. Por ejemplo, supongamos que $a=x_0[a,b]$ (o satisface algunas condiciones de suavidad más débiles), $f”(a)= f”(b)=0$ y $f(x_i)=0$ para cada $i$. Sea $h=max|x_i+1 – x_i|$. Puede haber las siguientes condiciones impuestas a las derivadas de la función $f$.
- $|f’|= A$. Entonces $|f|le Ah/2$.
- $|f”|= A$. Entonces $|f’| le A(ba)/2$, y así $|f|le Ah(b –a)/4$. Pero parece que podemos obtener un límite $|f|le Ah^2/4$.
- $|f”’|= A$. Entonces …
Espero que esto ayude.
Asumimos $fen C^2([a,b]ps. Ya que $s”(x)=s”(x_i)fracx_i+1-xh_i+s”(x_i+1)fracx-x_i{h_i pspor $xin [x_i,x_i+1)$, $0leq ileq n-1$, it holds
$$
beginarrayrcl
f”(x)-s”(x)&=&left[(f”(x)-f”(x_i))+(f”(x_i)-s”(x_i))right]tfracx_i+1-xh_i\[0.75pc] &&+izquierda[(f”(x)-f”(x_i+1))+(f”(x_i+1)-s”(x_i+1)]right)tfracx-x_ih_i, endarray $$
por $xin [x_i,x_i+1)$, $0leq ileq n-1$. Hence,
$$parallel f”-s”parallel_inftyleq omega_h(f”)+M_Delta_n,$$
being $omega_h(f”)$ the modulus of continuity of $f”$ of size $h=displaystylemax_0leq ileq n x_i+1-x_i$ and $$M_Delta_n:=displaystylemax_0leq ileq n |f”(x_i)-s”(x_i)|.$$
Now, let $d:=f-sin C^2([a,b]pscon $d(x_i)=0$, $0leq ileq n$y por el teorema de Rolle, $d'(xi_i)=0$con $xi_ien (x_i,x_i+1)$, $0leq ileq n-1$. Dejar $widehatx, widetildexin [a,b]ps tal que $parallel d parallel_infty=|d(widehatx)|$ y $parallel d’parallel_infty=|d'(widetildex)|$, respectivamente. Existen índices
$i,j$ tal que $|widehatx-x_i|leq frach2$ y $|widetildex-xi_j|leq h$. Entonces
$$ parallel d parallel_infty=|d(widehatx)|=left| int_x_i^widehatx d'(x)dxright|leq tfrach2 parallel d’ parallel_infty, quad parallel d’parallel_ infty =|d'(widetildex)|=left| int_xi_j^widetildex d”(x)dxright|leq hparallel d”parallel_infty. $$
Queda por estudiar el tamaño de $M_Delta_n$. Para los splines cúbicos naturales y completos (incluso para el periódico si $f$ se extiende periódicamente a un $C^2$ función en $matemáticasR$), se mantiene
$$ beginarrayrcl widehatdelta_i&:=&tfrach_i-16(h_i-1+h_i)f”(x_i-1)+ fracción13f”(x_i)+tfrach_i6(h_i-1+h_i)f”(x_i+1)-f[x_i-1,x_i,x_i+1]
\[0.75pc] &&tfrach_i-16(h_i-1+h_i)f”(x_i-1)+frac13f”(x_i) +tfrach_i6(h_i-1+h_i)f”(x_i+1)-tfracf”(widehatzeta_i)2 ,quadwidehatzeta_iin[x_i-1,x_i+1]\[0.75pc] &&tfrach_i-16(h_i-1+h_i)(f”(x_i-1)-f”(widehatzeta_i)) +frac13(f”(x_i)-f”(widehatzeta_i))+tfrach_i6(h_i-1+h_i)( f”(x_i+1)-f”(widehatzeta_i)), endarray $$
y $|widehatdelta_i|leq frac16omega_2h(f”)+frac13omega_h(f”) leq frac23omega_h(f”)$, $0leq ileq n$ (con la convención, $h_-1:=0$, $x_-1:=x_0$por $i=0$; por $i=n$, $h_n:=0$, $x_n+1=x_n$ en caso de spline completo, y $h_n:=h_0$, $x_n+1=x_n+h_n$con $f(x_n+1):=f(x_1)$para el periódico).
Si $AM=b$ denota el sistema lineal para los momentos spline ($s”(x_i)$) y $F”$ es el correspondiente vector de segundas derivadas de $f$ en los puntos de la cuadrícula, entonces $A(F”-M)=AF”-b=sombrero anchodelta$donde $sombrero anchodelta$ es el vector correspondiente con coeficientes $widehatdelta_i$. Ya que $parallel A^-1parallel_infty leq frac11-parallel IAparallel_infty=frac11-frac56= 6$esto da
$$ M_Delta_n=parallel F”-M parallel_inftyleq parallel A^-1 parallel_infty parallelwidehatdelta parallel_inftyleq 4omega_ h(f”). $$
Esto da $parallel f^(j)-s^(j) parallel_infty=o(h^2-j)$, $j=0,1,2$ para las tres splines antes consideradas. Si $f$ no se extiende a un $C^2$ función periódica, entonces el argumento anterior solo da para el spline periódico $parallel f^(j)-s^(j) parallel_infty=mathcalO(h^2-j/h_rm min)$, $j=0,1$con $h_rm min=displaystyle min_0leq ileq n x_i+1-x_i$.
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