Solución:
La importancia es algo relativo.
Para un informático, un matemático aplicado o un combinatorio que trabaja con conjuntos finitos, el axioma de elección podría ser el axioma menos importante en matemáticas. Como las instancias que involucran solo conjuntos finitos nunca requerirán el axioma de elección.
Podemos ver el axioma de la importancia en ciernes de elección cuando se llega a objetos infinitos. El axioma es necesario para determinar que las uniones contables de conjuntos contables son contables, se necesita para asegurar que cada dos cierres algebraicos de $ Bbb Q $ son isomorfos, es necesario asegurar que $ Bbb R $ no es la unión contable de conjuntos contables, es necesario asegurar que cada filtro pueda extenderse a un ultrafiltro y, como consecuencia, nos da el teorema de Hahn-Banach, el teorema de la compacidad para la lógica.
El axioma de elección es necesario para asegurar que cada espacio vectorial tenga un [Hamel] base. Es necesario asegurar que cada anillo conmutativo con una unidad tenga un ideal máximo. El axioma es necesario para asegurarse de que la aritmética cardinal se desarrolle según lo planeado. Que se cumplen los teoremas de Lowenheim-Skolem.
Siempre que los conjuntos infinitos juegan un papel, el axioma de elección es necesario para asegurarse de que la formulación del teorema sea simple y que sea relevante para los conjuntos que consideramos importantes. Conjuntos como los números reales, como $ ell_ infty $, conjuntos que son incontables.
¿Qué resultados extraños pueden suceder sin el axioma de la elección? Prácticamente cualquier cosa, si necesita el axioma de elección de una manera sustancial, significa que puede fallar sin el axioma de elección. Pero hay un recordatorio habitual aquí. El fracaso del axioma de elección es tan poco constructivo como el axioma mismo, y eso significa que decir que el axioma de elección ha fracasado espectacularmente no significa que este fracaso ocurra en conjuntos que interesan al “matemático en activo”. o incluso “el teórico del conjunto de trabajo”.
Permítanme enumerar algunas fallas del axioma de elección que ocurren al nivel de los números reales, que es lo que realmente parecemos pensar que es extraño.
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Los números reales pueden ser una unión contable de conjuntos contables. Esto significa que la mayoría de los análisis se van por la ventana, ya que la definición habitual de las medidas de Borel / Lebesgue se trivializa. Las cosas se pueden remediar trabajando con códigos Borel, pero todo se vuelve mucho más difícil de administrar.
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$ Bbb Q $ tiene dos cierres algebraicos no isomórficos. Podemos probar que el cierre algebraico habitual siempre existe, o al menos siempre hay un cierre algebraico canónico para $ Bbb Q $. Pero resulta que también puede haber un no canónico, y pueden ser no isomórficos.
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Cada ultrafiltro en $ Bbb N $ es principal. Esto significa que las definiciones que utilizan ultraproductos y ultralímites (por ejemplo, en la definición de los números hiperreales) no se cumplen; también significa que $ Bbb R $ no se puede ordenar correctamente.
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Cada conjunto de reales puede tener la propiedad Baire (equivale a un conjunto abierto a un conjunto magro). Puede que esto no parezca mucho, pero de hecho es un gran problema. Esto implica, al menos en presencia de una elección dependiente (un fortalecimiento de la elección contable), que todo operador lineal entre un espacio de Banach y un espacio normado es continuo.
En particular, cada funcional lineal desde un espacio de Banach hasta $ Bbb R $ es continuo, y cada funcional desde $ Bbb R $ hasta $ Bbb Q $ es continuo. Entonces, los reales no tienen una base de Hamel sobre $ Bbb Q $ y $ ell_2 $ es isomorfo a su dual algebraico, que es solo su dual topológico habitual. También significa que $ ( ell_ infty / c_0) ^ * = {0 } $.
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Sería negligente si no mencionara el axioma de la determinación. Este axioma implica mucha estructura en el terreno de los conjuntos de reales; aunque esta estructura es mucho más compleja y extraña de lo que estamos acostumbrados con el axioma de elección. Implica la mensurabilidad y otras propiedades de regularidad de conjuntos de reales, y su fuerza de consistencia es mayor que todas las fallas mencionadas anteriormente, pero no entremos en eso.
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$ Bbb Q $ podría no ser inyectivo (como grupo abeliano). De hecho, la afirmación de que todo grupo divisible es inyectivo implica el axioma de elección. Y es consistente que no hay grupos inyectivos, en particular $ Bbb Q $ podría no ser inyectivo.
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Podría haber un subconjunto infinito de Dedekind-finito de $ Bbb R $. Esto significa que muchas definiciones salen por la ventana, por ejemplo, la continuidad por secuencias no es equivalente a la continuidad por $ varepsilon $ – $ delta $ cuando se habla de una función continua en unos $ x $. Significa que hay un árbol en cuyos nodos hay números reales, su altura $ omega $, y no tiene nodos máximos, pero tampoco ramas infinitas.
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Más específicamente al anterior, podemos disponer que este conjunto no puede estar dotado de una estructura de grupo por sí solo, contradiciendo el teorema (que es equivalente a la elección completa) de que todo conjunto no vacío puede estar dotado de una estructura de grupo.
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Es muy posible que $ Bbb R $ sea la unión de dos conjuntos disjuntos, cada uno de cardinalidad estrictamente menor. Me escuchas.
Esta lista puede seguir y seguir. Así que déjame detenerme aquí. Y permítanme señalar que hay muchas otras fallas que pueden ocurrir y que pueden interesar al “matemático Joe”, porque impiden una buena formulación de teoremas.
Ya no es “todo anillo conmutativo con unidad tiene un ideal máximo”, sino que “todo anillo conmutativo con unidad bien ordenado tiene un ideal máximo”; y adiciones similares que nos obligan a restringirnos a clases más pequeñas de objetos, y dado que puede haber anillos conmutativos que no se pueden ordenar bien, pero que aún tienen ideales máximos, este teorema tampoco es satisfactorio.
Entonces, ¿es importante el axioma de elección? Para las matemáticas modernas, que se ocupan de objetos infinitos, la respuesta es sí. ¿Qué importancia tiene? Es importante poner algo de orden en conjuntos infinitos y mantenerlos al menos un poco bajo control.
El axioma de elección es necesario para construir una función $ f:[0,1] rightarrow R $, tal que $ f (r ^ n) = f (r) $ para $ r in[0,1]$ y todos los números naturales $ n $, que es un contraejemplo de la unicidad en un problema inverso de cuerda vibrante.