Luego de indagar en varios repositorios y sitios webs de internet finalmente nos encontramos con la respuesta que te mostraremos pronto.
Solución:
Sea $P(7,13),F(-1,-1)$. Además, sea $T$ el punto de intersección de la recta $y=3x-8$ con el eje de simetría. Sea $V$ el vértice, y sea $K$ el punto en el eje de simetría tal que $PK$ sea perpendicular al eje.
Usamos lo siguiente (para la prueba, vea el final de esta respuesta):
(1) $PF=TF$
(2) $VT=VK$
(3) $text(la longitud del latus rectum)=4times FV$
En primer lugar, establecer $T$ como $(t,3t-8)$ donde $tnot= 7$ y usar $(1)$ da $$(-1-7)^2+(-1-13 )^2=(-1-t)^2+(-1-3t+8)^2quadRightarrowquad t=-3quadRightarrowquad T(-3,-17)$$
Por tanto, el eje de simetría es la recta $TF$ : $y=8x+7$. Entonces, la línea $PK$ es $y-13=(-1/8)(x-7)$, es decir, $y=-x/8+111/8$ de donde $K(11/13,179/13) $ sigue.
De $(2)$, dado que $V$ es el punto medio del segmento de recta $TK$, tenemos $V(-14/13,-21/13).$
Finalmente, usando $(3)$, obtenemos que la respuesta es $colorred4sqrt5/13$.
Prueba por $(1)(2)(3)$ :
Podemos suponer que la ecuación de una parábola es $y^2=4px$ donde $pgt 0$.
$qquadqquadqquad$
Consideramos la recta tangente en $A(a,b)$ donde $b^2=4pa$ con $bgt 0$. Sea $B$ el punto de intersección de la recta tangente con el eje $x$ que es el eje de simetría. Además, sea $C(p,0)$ el foco, y sea $D(a,0)$ un punto en el eje $x$ tal que $AD$ sea perpendicular al eje $x$. El vértice es $O(0,0)$, y sea $E(p,e)$ donde $egt 0$ sea el punto de intersección de la parábola con la recta perpendicular al eje $x$ que pasa por $C$ .
(1)
Dado que la ecuación de la recta tangente en $A$ está dada por $by=2p(x+a)$, tenemos $B(-a,0)$, por lo que $$AC=sqrt(ap)^ 2+(b-0)^2=sqrta^2-2ap+p^2+4pa=sqrt(p+a)^2=p+a=BC.$$
(2)
$OB=0-(-a)=a=OD$.
(3)
Resolviendo $y^2=4px$ y $x=p$ da $y=pm 2p$, y entonces $e=2p$. Por lo tanto, $$text(la longitud del latus recto)=2times EC=2e=4p=4times OC.$$
Dejar
- $A=$ foco de parábola $=(-1,-1)$
- $P=(7,13)$
- $G=$ pie de perpendicular desde $A$ a la tangente en $P$
- $V=$ vértice de la parábola
- $a=AV$
- $ell=AP=sqrt260$
- $theta=$ ángulo entre $AP$ y $PG$.
La tangente en $P$ es $y=3x-8$ (dado) que es la ecuación para $PG$.
Pendiente de $AP$, $m_1$ = $dfrac74$.
Pendiente de $PG$, $m_2$ = $3$.
$$t=tantheta=fracm_2-m_11+m_2m_1=frac3-frac741+3cdot frac74=frac15$$
Hacemos uso de dos propiedades de la parábola:
-
La tangente que pasa por $P$ biseca el ángulo entre $AP$ y la línea desde $P$ perpendicular a la directriz.
-
$G$ se encuentra en la tangente a $V$ (esta línea es paralela a la directriz).
para construir el siguiente diagrama
de donde podemos ver que
$$beginalign AG=frac asintheta&=ellsintheta\ ell&=frac asin^2theta=a csc ^2theta \ &=a(1+cot^2theta)\ &=aleft(1+frac 1t^2right)\ &=26a &&textcomo t= frac 15\ ell^2=260&=26^2a^2\ a^2&=frac 513\ textLatus Rectum=4a&=colorred4sqrt fracción 513qquadblacksquare endalign$$
Otro método:
(Este método no requiere el conocimiento de las dos propiedades anteriores.
En cambio, el enfoque es expresar $a$ en términos de $l$ y $tantheta$.)
Use el diagrama y la nomenclatura como en el primer método.
Considere el caso de la parábola $y=x^2/(4a)$.
Sea $P=(2lambda a, lambda^2 a)$ un punto en esta parábola.
El foco es $A (0,a)$.
$$fracdydx=frac x2a=lambdaqquadtexten P$$ Pendiente de $AP$, $m_2=dfraclambda^2a-a 2lambda a-0=dfraclambda 2-dfrac 12lambda$
Pendiente de $PG$, $m_1=lambda$. $$beginalign t=tantheta &=fracm_1-m_21+m_1 m_2 =fraclambda-left(frac lambda2-frac 12lambda right) 1+lambdaleft(frac lambda2-frac 12lambdaright) =frac 1lambda\ ell^2&=(lambda^2a-a )^2+(2lambda a-0)^2=a^2(lambda^2+1)^2\ ell^2&=a^2left(frac 1t^2+ 1right)\ endalign$$ Esta relación se aplica a todas las parábolas.
Para la parábola dada, sustituya los valores de $ell^2$ y $t^2$: $$beginalign 260&=a^2(5^2+1)=26^2a^2qquadqquad qquadqquadqquadquad\ a&=sqrtfrac 513\ textLatus Rectum=4a&=colorred4sqrtfrac 513 qquadcuadrado negro endalign$$
Insinuación…en lugar de usar la forma general de la parábola, puedes usar las propiedades geométricas. Este es un resumen de un enfoque que podría tomar, y es posible que desee resolver los detalles por sí mismo.
Sea el foco $S(-1,-1)$ y $P(7,13)$. Sea la directriz de ecuación $y=mx+c$, y sea $N$ el pie de la perpendicular de $P$ a la directriz.
Entonces se aplican las siguientes propiedades de la parábola:
-
$PS=PN$ $$Rightarrow sqrt260=left|frac13-7m-csqrt1+m^2right|$$
-
El latus rectum $L$ tiene una longitud de $4a$, donde $2a$ es la distancia perpendicular del foco a la directriz. Por lo tanto $$L=2left|frac-1+mcsqrt1+m^2right|$$
-
La bien conocida propiedad reflectora de la parábola significa que la tangente biseca el ángulo entre $PS$ y $PN$. El gradiente de $PS$ es $frac 74$.
El ángulo entre la tangente y $PS$ es $theta$, donde $$tantheta=left|frac3-frac 741+3timesfrac 74right|= frac15$$
Ahora deja que el gradiente de $PN$ sea $m_1$. Puede usar la misma fórmula de “ángulo entre los gradientes” para establecer que $m_1=8Rightarrow m=-frac 18$.
Entonces se trata de calcular $c$ y luego obtienes $L$.
Espero que esto ayude.
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