Este enunciado fue probado por especialistas así garantizamos la exactitud de nuestra esta crónica.
Solución:
La idea general e intuitiva de los polos es que son puntos en los que evaluar tu función implicaría dividir por cero. El orden del polo es el exponente en el factor que va a cero en el denominador. Es mejor comenzar con algunos ejemplos simples, como funciones racionales:
$$ f(z) = frac(z + 1)(z – 2)(z + 1)(z – 1)(z-3)^2$$
Observe que el denominador tiende a cero en $z = -1, 1, 3$. Sin embargo, para $z = -1$, también hay una copia de $(z + 1)$ en la parte superior, por lo que este es un polo de orden cero, o un singularidad removible, por lo que normalmente no cuenta. En $z = 1$, tenemos una copia de $(z – 1)$ en el denominador, por lo que es un polo de orden $1$. Para $z = 3$, tenemos $(z – 3)$ con multiplicidad $2$, por lo que es un polo de orden $2$.
Ahora veamos un ejemplo un poco más interesante:
$$f(z) = fracz sinz$$
Como todos sabemos, $sin(z) = 0$ cuando $z = n pi$, donde $n$ es un número entero, y además, todos estos ceros de $sin(z)$ son raíces simples, entonces naturalmente podríamos pensar que $f(z)$ tiene polos de orden $1$ en $z = n pi$ para cada $n$. Sin embargo, $z$ en el numerador cancela el cero en $z = 0$ en el denominador, por lo que de hecho $f(z)$ en este caso tiene un polo de orden $1$ para $z = n pi$ , donde $n$ es un entero distinto de cero.
Así que la estrategia general se puede describir así:
- Identifica todos los ceros en el denominador, junto con sus multiplicidades.
- Identifique cualquier cero en el numerador que también sea cero en el denominador, junto con sus multiplicidades.
- Cada cero en el denominador es un polo cuyo orden se da tomando la multiplicidad en el denominador y restando la multiplicidad en el numerador. Si el orden no es positivo, entonces en realidad no es un poste.
(i) Los polos de $f(z)=dfracsin z(z-1)sinh z$ serán los polos de $sin z$ junto con los ceros de $(z-1 )sinh z$). Dado que $sin(z)$ es analítico, no tendrá polos. Así los polos serán $z=1$ y los ceros de $sinh z$, que son $z=npi i$ para $zin mathbbZ$. y todos serán simples.
En $z=1$, podemos usar la fórmula $Res(f,c)=lim_zrightarrow c(zc)f(z)$. Así $Res(f,1)=lim_zrightarrow 1dfracsin zsinh z=dfracsin 1sinh 1$
Para los polos $z=npi i$, queremos usar la fórmula $Res(dfracgh,c)=dfracg(c)h^prime(c )$, entonces $Res(f,npi i)=dfracsin(npi i)(npi i-1)cosh (npi i)=dfrac sinh(npi)npi i-1 $