Estate atento porque en este escrito vas a encontrar el hallazgo que buscas.
Solución:
No se conoce una fórmula simple para esto, y ciertos aspectos de la pregunta son objeto de investigación en curso. Por ejemplo, este documento resume algunas investigaciones que se han realizado sobre el orden máximo posible para un elemento de $S_n$.
En general, la forma de encontrar el número de elementos de orden $k$ en $S_n$ es:
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Determinar todos los tipos de ciclo posibles para un elemento de orden $k$, y luego
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Determine el número de elementos que tienen cada uno de estos tipos de ciclo.
Para el paso (1), solo está buscando todas las formas posibles de dividir $n$ en ciclos para que el mínimo común múltiplo de la duración del ciclo sea $k$. Por ejemplo, si la permutación tiene orden seis, entonces todos los ciclos deben tener una longitud de $1$, $2$, $3$ o $6$, con al menos un ciclo de $6$ o un ciclo de longitudes de $2$ y $3$. Entonces, si queremos contar el número de permutaciones de orden seis en $S_8$, las posibilidades son
- Un ciclo de $6$, un ciclo de $2$,
- Un ciclo de $6$, dos ciclos de $1$,
- Dos ciclos de $3$, un ciclo de $2$,
- Un ciclo de $3$, dos ciclos de $2$ y un ciclo de $1$, o
- Un ciclo de $3$, un ciclo de $2$ y tres ciclos de $1$.
El paso (2) es fácil una vez que descubres el paso (1). En particular, el número de permutaciones en $S_n$ con una estructura de ciclo dada es $$ fracn!prod_d=1^n (c_d)!,d^c_d $$ donde $c_d$ indica el número de ciclos de longitud $d$. Por ejemplo, la cantidad de elementos de $S_20$ que tienen cuatro ciclos de $1$, cinco ciclos de $2$ y dos ciclos de $3$ es $$ frac20!(4!cdot 1^ 4)(5!cdot 2^5)(2!cdot 3^2) ;=; 1text,466text,593text,128text,000. $$ La siguiente tabla muestra el número de elementos de cada orden en $S_2$ a $S_8$. $$ beginarraycrrrrrrrrrrrr & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 12 & 15 \ hline S_2 & 1 & 1 & – & – & – & – & – & – & – & – & -\ S_3 & 1 & 3 & 2 & – & – & – & – & – & – & – & – \ S_4 & 1 & 9 & 8 & 6 & – & – & – & – & – & – & – \ S_5 & 1 & 25 & 20 & 30 & 24 & 20 & – & – & – & – & – \ S_6 & 1 & 75 & 80 & 180 & 144 & 240 & – & – & – & – & – \ S_7 & 1 & 231 & 350 & 840 & 504 & 1470 & 720 & – & 504 & 420 & – \ S_8 & 1 & 763 & 1232 & 5460 & 1344 & 10640 & 5760 & 5040 & 4032 & 3360 y 2688 endarray $$ Esta tabla es la entrada A057731 en OEIS.
El orden está determinado por la estructura del ciclo. Con esto quiero decir que una transposición tiene un orden de $2$, un ciclo de $3$ tiene un orden de $3$, etc. Si $sigma_1 dots sigma_t$ son ciclos disjuntos de orden $r_1 dots r_t$ entonces el orden de $sigma_1 dots sigma_t$ es $textrmlcm(r_1 dots r_t)$. Entonces, esto es más un problema combinatorio: observe la estructura de cada ciclo y calcule las posibles permutaciones. Tenga cuidado con la doble contabilidad. Para $A_n$, simplemente puede limitarse a las permutaciones pares.
Si está buscando una forma explícita de producir elementos de un orden dado, recuerde que la estructura del ciclo, por lo tanto, el orden, se conserva bajo la conjugación. Así que puedes calcular todas las clases de conjugación de elementos de un orden dado (esto es fácil para $n$ pequeños, tedioso para $n$ grandes).
Los hechos a continuación lo ayudarán a encontrar cuántos elementos tienen un orden determinado, pero los detalles combinatorios probablemente sean confusos; Yo no hay una fórmula simple.
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Cada permutación es un producto de ciclos disjuntos, que es único excepto por el orden.
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El orden de un producto de ciclos disjuntos es el mcm de sus órdenes.
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El orden de una permutación está determinado por su estructura de ciclo, que es la lista de los órdenes de sus ciclos disjuntos.
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El número de estructuras de ciclo posibles es el mismo que el número de particiones de $n$.
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Las posibles estructuras de ciclo corresponden a las clases de conjugación en $S_n$.
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