Solución:
Realmente amé Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas por George Simmons. Cambió drásticamente mi perspectiva sobre una gran parte de las matemáticas. Por ejemplo, ¿por qué dedicamos tanto tiempo al análisis real estudiando la convergencia de series de potencias? El tema es interesante por sí solo, pero aparte del interés abstracto, es en última instancia porque queremos usar esos métodos para comprender las soluciones de ecuaciones diferenciales en series de potencias.
El libro de Simmons está escrito con claridad y no solo hace que el tema sea interesante sino profundamente fascinante. Grandes matemáticos como Gauss y Laplace intentaban resolver problemas de física e ingeniería, en los que las ecuaciones diferenciales son omnipresentes, y estos problemas son la motivación principal de gran parte del análisis y la topología. En la página 30, Simmons ha tratado los objetos que caen con la resistencia del aire y ha mostrado cómo calcular las velocidades terminales. Después de pasar toda la escuela secundaria haciendo problemas de caída de objetos sin resistencia del aire, fue un alivio finalmente hacerlo bien. Otro punto culminante temprano es la solución del famoso problema de la braquistocrona, algo que me había estado preguntando durante años.
Muchos libros tienen una serie de ejercicios secos del tipo “Resuelve la ecuación … usando el … método”. Los ejercicios de Simmons son jugosos. Fue divertido leerlos, y cada uno me emocionó al tratar de encontrar la respuesta. Aquí hay algunos ejemplos, todos del capítulo 1:
Considere una cuenta en la parte más alta de un círculo en un plano vertical, y deje que ese punto se una a cualquier punto inferior del círculo mediante un alambre recto. Si la cuenta se desliza por el alambre sin fricción, demuestre que llegará al círculo. al mismo tiempo, independientemente de la posición del punto inferior.
Una cadena de 4 pies de largo comienza con 1 pie colgando del borde de una mesa. Desprecie la fricción y encuentre el tiempo para que la cadena se deslice fuera de la mesa.
Un balón de fútbol liso que tiene la forma de un esferoide alargado de 30 cm de largo y 15 cm de grosor está al aire libre en medio de una tormenta. Encuentra los caminos por los que el agua correrá por sus lados.
La clepsidra, o antiguo reloj de agua, era un cuenco del que se dejaba escapar el agua a través de un pequeño orificio en el fondo. A menudo se usaba en los tribunales griegos y romanos para cronometrar los discursos de los abogados, a fin de evitar que hablaran demasiado. Encuentre la forma que debería tener si el nivel del agua debe caer a un ritmo constante.
Este podría ser mi favorito:
- Un destructor está cazando un submarino en una densa niebla. La niebla se levanta por un momento, deja al descubierto el submarino en la superficie a 3 millas de distancia y desciende inmediatamente. La velocidad del destructor es el doble que la del submarino, y se sabe que este último se sumergirá de inmediato y partirá a toda velocidad en un rumbo recto de dirección desconocida. ¿Qué camino debe seguir el destructor para estar seguro de pasar directamente sobre el submarino? Sugerencia: establezca un sistema de coordenadas polares con el origen en el punto donde se avistó el submarino.
Ni siquiera me hubiera dado cuenta de que hay era tal camino, y tuve que reflexionar por un tiempo para persuadirme a mí mismo de que lo había.
La clase de ecuaciones diferenciales que tomé cuando era joven fue decepcionante, porque parecía poco más que una bolsa de trucos que funcionarían para algunas ecuaciones, dejando la gran mayoría de problemas interesantes insolubles. El libro de Simmons solucionó eso.
[ Addendum 2020-04-20: Regarding this last point, Gian-Carlo Rota says: “The most preposterous items are found at the beginning, when the text (any text) will list a number of disconnected tricks that are passed off as useful, such as exact equations, integrating factors, homogeneous differential equations, and similarly preposterous techniques. Since it is rare – to put it gently – to find a differential equation of this kind ever occurring in engineering practice, the exercises provided along with these topics are of limited scope…”. And later: “A course taught as a bag of tricks is devoid of educational value.”. ]
Echa un vistazo a lo siguiente: * Esquema de Schaum * Guía del muñeco * Tenenbaum y Pollard (Dover)
Todos estos cubren la ODE de introducción básica para un primer vistazo. Todos tienen muchos problemas, soluciones trabajadas y respuestas a los otros problemas. Todos son fáciles de leer.
No creo que algunos de los otros comentarios y sugerencias respondieran a las condiciones que mencionaste (“Idealmente debería tener una variedad de problemas con soluciones trabajadas y ser fácil de leer”). En cambio, fueron personas que mencionaron libros favoritos que son un un poco más difícil de lo que quieres.