Solución:
Esta es una respuesta más realista en comparación con las matemáticas sofisticadas de la otra. Este problema se resuelve fácilmente numéricamente. Las ecuaciones se expresan fácilmente: fuerzas del cuadrado inverso hacia la derecha desde las partículas hacia la izquierda y hacia la izquierda desde las partículas hacia la derecha. Por lo tanto, para un sistema de $ n + 2 $ cargos donde el primero y el último están fijados en $ x = 0 $ y $ x = L $ por fuerzas externas (para evitar que todo el sistema se separe), las posiciones $ x_1, ldots, x_n $ de las partículas del medio obedecen $$ frac1 {x_i ^ 2} + sum_ {j = 1} ^ {i-1} frac1 {(x_i-x_j) ^ 2} – sum_ {j = i + 1} ^ n frac1 {(x_i-x_j) ^ 2} – frac1 {(x_i-L) ^ 2} = 0, i = 1, ldots, n. $$
Esto se puede resolver numéricamente para dar las posiciones. Esta es una gráfica de las posiciones de las partículas para $ n $ de 1 a 50:
Código de Mathematica disponible a pedido.
La distribución es relativamente uniforme, pero no tan exactamente. Esto es evidente por el ligero agrupamiento en los extremos, y se puede ver más claramente en la densidad de probabilidad para las posiciones en general $ n $:
Debo señalar que este tipo de distribución es más o menos lo que cabría esperar de los ceros de un polinomio ortogonal de orden grande, aunque el caso de Jacobi es uniforme más agrupados en los bordes:
(Aunque en realidad los dos histogramas son tan diferentes, y el de Coulomb es tan uniforme, estoy empezando a dudar de que exista un modelo electrostático Calogero para un potencial de interacción de distancia inversa).
Las cargas que se mueven libremente colocadas en una línea tenderán a alejarse unas de otras, sin una posición de equilibrio posible, a menos que haya algún potencial que las limite a una región específica. Hacer cumplir los cargos para que se encuentren dentro de un intervalo PS[0,L]PS siempre significará que hay una carga en cada extremo, por lo que también podría considerar $ n-2 $ Cargas limitadas por el potencial de una carga puntual en cada extremo. Por lo tanto, su problema se reduce a encontrar los equilibrios estables de $ n $ partículas en posiciones $ x_1, ldots, x_n $, interactuando a través de un potencial de Coulomb $ V (x_i, x_j) $ y bajo la acción de un potencial externo $ varphi (x) $:
$$ text {Minimizar} , , , E (x_1, ldots, x_n) = frac12 sum_ {i neq j} V (x_i, x_j) + sum_i varphi (x_i) text {over} x_1, ldots, x_n. $$
Este problema es muy general y da lugar a una serie de estructuras muy hermosas. En particular, las posiciones de equilibrio del mínimo global de $ E $ son muy a menudo los ceros del $ n $th miembro de una familia de polinomios ortogonales. La familia de polinomios que aparezca dependerá, por supuesto, de las funciones $ V $ y $ varphi $y sobre si impone condiciones adicionales al $ x_i $. Algunos buenos ejemplos son:
- Si $ V (x_i, x_j) = – ln | x_i-x_j | $ y $ varphi (x) = – frac { beta + 1} 2 ln | x + 1 | – frac { alpha + 1} 2 ln | x-1 | $, correspondiente a interacciones punto-carga en dos dimensiones, confinado a 1D, bajo la acción de cargas puntuales en $ pm1 $, entonces el $ x_i $ serán ceros del polinomio de Jacobi $ P_n ^ {( alpha, beta)} $ (aunque estos probablemente se reducen a polinomios de Chebyshev del segundo tipo cuando las cargas finales tienen la misma fuerza que las del medio).
- Si $ V (x_i, x_j) = – ln | x_i-x_j | $ y $ varphi (x) = frac12 x ^ 2 $, luego obtienes polinomios de Hermite.
- Si $ V (x_i, x_j) = – ln | x_i-x_j | $ y $ varphi (x) = x- frac { alpha + 1} 2 ln | x | $, luego obtienes polinomios de Laguerre.
- Si $ V (x_i, x_j) = frac1 {(x_i-x_j) ^ 2} $ y $ varphi (x) = frac12 x ^ 2 $, entonces también obtienes polinomios de Hermite.
El resultado más cercano que conozco a lo que está preguntando es el primero, pero las interacciones son logarítmicas en lugar de potenciales de Coulomb. Debe quedar claro, sin embargo, que para el caso de Coulomb la distribución no ser uniforme.
No tengo conocimiento de ningún resultado específico que use potenciales de distancia inversa (pero si alguien lo hace, ¡agréguelo!). En general, sin embargo, los matemáticos parecen estar interesados en el tipo inverso de problema: dada una secuencia de polinomios ortogonales (como se define por su medida de ortogonalidad, o de manera equivalente por sus momentos o los coeficientes de recursión de los polinomios), encontrar el modelo electrostático que el los ceros polinomiales satisfacen.
Este trabajo fue iniciado originalmente por Stieltjes, y fue redescubierto por F. Calogero en los años setenta, lo que provocó el trabajo moderno sobre el tema. Si desea leer sobre esto, dos buenas referencias iniciales son
Sobre los ceros de los polinomios clásicos. F. Calogero. Letón. Nuovo Cimento 19 no. 13, serie 2, págs. 505-508 (1977).
Modelos electrostáticos para ceros de polinomios: problemas antiguos, nuevos y algunos abiertos. F. Marcellán, A. Martínez-Finkelshtein y P. Martínez-González. J. Comp. Apl. Matemáticas. 207 no. 2, págs. 258-272 (2007) (Actas de la conferencia en honor del Dr. Nico Temme con motivo de su 65 cumpleaños).
Un modelo electrostático para ceros de polinomios ortogonales generales. Mourad EH Ismail. Pac. J. Math. 193 no. 2, págs. 355-369 (2000), eprint de la Universidad de Tel Aviv.
Este problema ha sido resuelto por Griffiths en
Densidad de carga de una aguja conductora. David J. Griffiths y Ye Li. Soy. J. Phys. 64 no. 6 (1996), pág. 706. PDF de colorado.edu.
El problema no es trivial.