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Solución:
Cualquier $y^3 + py + q$ se puede escribir como $F := (y-x_1)(y-x_2)(y+x_1 + x_2)$ para algunos $x_1,x_2$ en una extensión algebraica. Así que basta probar la fórmula solo para este polinomio $F$. Calcule el discriminante de $F$ directamente de la definición, calcule los coeficientes $x^1$ y $x^0$ en $F$ (es decir, $p$ y $q$) en términos de $x_1,x_2$, luego calcule $-4p^3-27q^2$ y compare.
El discriminante es una cantidad tal que su signo decide el número de raíces reales. Cuando es cero, tenemos dos raíces, de las cuales una doble. Esta raíz doble corresponde a un extremo que está en el eje horizontal (curva azul).
Cancelando la derivada
$$3y^2+p=0,$$
resolvemos para $y$,
$$y=pmsqrt-frac p3.$$
Luego reemplazando la función cúbica,
$$f(y)=mpfrac p3sqrt-frac p3pm psqrt-frac p3+q=pmfrac2p3sqrt-frac p3 +q=0.$$
Esta cantidad se cancela cuando
$$4p^3+27q^2=0.$$
Solo por diversión, podemos usar el método para la ecuación cuadrática. Con una ecuación deflactada
$$y^2+p=0$$ trivialmente tenemos $$y=0,\f(0)=p=0.$$
[The deflated equation is obtained by completing the square, $ax^2+bx+c=aleft(left(x-frac b2aright)^2+frac4ac-b^24a^2right)$.]
@Mark Hay una buena interpretación gráfica del discriminante. Dejenos considerar
$$x^3+px+q=0$$
como la ecuación que da las abscisas de los puntos de intersección de
$$begincasesy=x^3 & textcurva cúbica (C)\y=-px-q & textlínea recta (D_p,q) endcasos$$
(ver gráficos a continuación) Según los valores de $p$ y $q$, $(C) cap (D_p,q)$ tienen uno, dos o tres puntos de intersección (que corresponden a uno, dos o tres raíces reales).
Por ejemplo, la línea verde tiene un punto de intersección con (C), mientras que la línea azul tiene tres. El caso de transición entre 1 raíz y tres raíces es cuando hay una raíz doble; esto significa exactamente que $(D_p,q)$ debe ser tangente a $(C)$, al igual que todas las líneas negras representadas en la figura siguiente.
Escribiendo la ecuación general de la tangente a (C) bajo la forma:
$$y=x_0^3+3x_0^2(x-x_0) iff y=(3x_0^2)x+(-2x_0^3)$$
Por identificación con la ecuación genérica $y=-px-q$ de $(D_p,q)$, obtenemos
$$begincasos 3x_0^2&=&-p\-2x_0^3&=&-qendcasos$$
Eliminando $x_0$ entre estas dos ecuaciones se obtiene la ecuación $4p^3+27q^2=0$, que es una condición de transición entre el caso “una solución real” y 3 “soluciones reales” (con completa analogía con la papel de la condición $Delta=0$ para una cuadrática).
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