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Conozco exactamente otra aplicación directa de los teoremas de Sylow fuera de la teoría de grupos, que es probar el teorema fundamental del álgebra.
Supongamos que $K$ es una extensión de Galois de $mathbbR$. Intentaremos demostrar que $K = mathbbR$ o $K = mathbbC$. (En particular, el propio $mathbbC$ debe ser algebraicamente cerrado). Sea $G$ su grupo de Galois y sea $H$ el subgrupo de $2$ de Sylow de $G$.
Según la teoría de Galois, $K^H$ es una extensión impar de $mathbbR$. Pero $mathbbR$ no tiene extensiones impares no triviales: cualquier extensión tiene un elemento primitivo con un polinomio mínimo de grado impar sobre $mathbbR$, pero cualquier polinomio tiene una raíz según el teorema del valor intermedio. Por lo tanto, $K^H = mathbbR$, o de manera equivalente $H = G$, por lo que $G$ tiene una potencia de orden de $2$.
Pero ahora $K$ es una extensión cuadrática iterada de $mathbbR$, y es fácil mostrar explícitamente usando la fórmula cuadrática que la única extensión cuadrática no trivial de $mathbbR$ es $mathbbC $, que en sí mismo no tiene extensiones cuadráticas no triviales.
El teorema fundamental del álgebra es probablemente el mejor ejemplo, pero ¿qué tal la siguiente prueba de que un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es cíclico?
Sea finito $G subset F^times$. Sea $H_p$ un subgrupo de $p$-Sylow. Entonces si $|H_p|=p^k$, afirmamos que $H_p$ es simplemente el conjunto de todas las raíces en $F$ del polinomio $x^p^k-1$: cada elemento de $H_p$ es una raíz por el teorema de LaGrange, y no puede haber más raíces ya que el grado del polinomio es $p^k$. Ahora usando esto, es fácil ver que $H_p$ es cíclico: es generado por cualquier $y in H_p$ tal que $y^p^k-1neq 1$ (tal $y$ existe porque solo hay $p^k-1$ raíces de $x^p^k-1-1$). Pero ahora, dado que $G$ es abeliano, $G$ es el producto directo de sus subgrupos de Sylow (aquí es donde se usa un teorema de Sylow, aunque también podría usar la teoría de grupos abelianos…), que son todos cíclicos de primos relativamente pedido.
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