Este tutorial ha sido analizado por nuestros expertos así se garantiza la exactitud de este enunciado.
Solución:
La pista que Stewart está demostrando básicamente es pedirte que demuestres que el determinante de Vandermonde anterior es un múltiplo escalar de $$prod_1 leq j < k leq n (z_k - z_j).$$
Una vez que haya hecho esto, no hay forma de que el producto sea cero, ya que eso significaría que algunos $z_k = z_j$, contradiciendo el hecho de que todos sus números complejos eran distintos al principio.
Más sobre la sugerencia de Stewart: ¿Puedes ver por qué el determinante anterior es un polinomio homogéneo en las variables $z_1,ldots,z_n$ de grado $1 + 2 + ldots + (n-1) =fracn(n-1) )2$? Una vez que vea por qué será suficiente sumar los grados de los términos a lo largo de la diagonal principal. Ahora supongamos que el determinante de Vandermonde anterior es divisible por el producto $prod_1 leq j < k (z_k - z_j)$.
Entonces, si el grado del determinante de Vandermonde es igual al grado de ese producto anterior, tu problema se resuelve mediante el algoritmo de división. Ahora, ¿cuál es el grado del polinomio $prod_1 leq j < k leq n (z_k - z_j)$?
El grado de ese polinomio es el número de factores en el producto. El número de factores es precisamente el número de formas de elegir dos cosas de $n$ cosas sin repeticiones (eso es lo que dice la condición $j < k$). Esto es precisamente $$binomn2 = fracn!(n-2)!2! = fracn(n-1)2.$$
Si no está completamente convencido del enfoque de Stewart anterior, aquí hay una prueba por inducción. Reemplace todos sus $z_n’s$ arriba con $x_n’s$ (perdón por esto). Establezca $V_n$ para que sea igual al determinante de Vandermonde $n times n$ anterior. Decimos que el determinante de la matriz $n times n$ está dado por $$ textdet(V_n) = prod_1leq i < j leq n (x_j - x_i). $$ Probamos por inducción: el paso base para $n=2$ es bastante fácil. Así que supongamos que la fórmula para det$(V_n)$ en términos de un producto anterior se cumple para $n=k$. Luego, para $n=k+1$, realizamos operaciones de columna (y luego, operaciones de fila) para obtener
$$begin{arrayccccc textdet (V_k+1) &=& textdet left[ beginarrayccccc 1& x_1 & x_1^2& ldots& x_1^k \ 1 &x_2 & x_2^2 & ldots& x_2^k \ vdots &&&& vdots \ 1&x_k+1 & x_k+1^2 &ldots &x_k+1^k endarray right]
\&=& textdetleft[ beginarrayccccc 1& 0 & 0& ldots& 0\ 1 &x_2 – x_1 & x_2(x_2 – x_1) & ldots& x_2^k-1(x_2 – x_1) \ vdots &&&& vdots \ 1&x_k+1 – x_1& x_k+1(x_k+1 – x_1) &ldots &x_k+1^k-1(x_k+1 – x_1) endarray right]
\ \ &=& prod_i=2^k+1(x_i – x_1) textdet left[ beginarrayccccc 1& 0 & 0& ldots& 0\ 1 &1 & x_2 & ldots& x_2^k-1 \ vdots &&& vdots \ 1&1& x_k+1 &ldots &x_k+1^k-1 endarray right] \ \ &=& Grande[ prod_i=2^k+1(x_i – x_1) Bigg] prod_2 leq yoarray $$
Considere la matriz de cofactores, llámela $C$. Cada columna de esta matriz es ortogonal a cada “columna exterior” de la matriz $V$, la matriz de Vandermonde. Por “columna exterior” me refiero a todas las columnas excepto la columna del mismo índice. Esto se ve fácilmente ya que la matriz de cofactores es la escala y transpuesta de la inversa.
Sea $mathbfv_i$ la $i$ésima columna en $V$ y $mathbfc_k$ la $k$ésima columna en la matriz de cofactores. De la definición de la matriz de cofactores tenemos
$$ mathbfv_i^topmathbfc_k = cases0 quad &for k $ne$ i \ det(V) & for $k=i$ tag1$ PS
Considéralos como polinomios en la variable $x$, $$p_i(x) = C_0k +C_1kz + C_2kz^2 + dots$$ De (1) sabemos que tiene factores $ (x – z_k)$ para todo $k ne i$, o de manera equivalente tiene un factor
$$prod_kne i(x-z_k)$$
Por lo tanto, usando un factor de escala $Delta$, podemos escribirlo como $$p_i(x) = Deltaprod_kne i(x-z_k)$$ También sabemos por (1) que $$ p_i(z_i) = det(V)$$ entonces $$p_i(z_i) = det(V) =Deltaprod_kne i(z_i – z_k)$$
Esto es suficiente para mostrar que el determinante se vuelve cero si $z_i = z_k$ para $k ne i$. Si resuelve más para $Delta$ encontrará una fórmula muy familiar si alguna vez ha mirado la interpolación polinomial…
Al final de todo puedes encontrar las explicaciones de otros desarrolladores, tú además tienes la libertad de dejar el tuyo si te gusta.