Posterior a consultar expertos en la materia, programadores de varias áreas y profesores hemos dado con la respuesta a la interrogande y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
Como te habrás dado cuenta, usamos $pmsqrtx$ para denotar ambas raíces cuadradas de algún número $x$. Desafortunadamente, no hay un símbolo análogo a $pm$ para raíces cúbicas, que te permita escribir las tres raíces con un solo símbolo.
Cuando queremos hacer esto de todos modos, generalmente escribimos lo siguiente: beginalign y^3 &= x \ y &= sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi in/3 & textdonde $ninmathbb Z$ endalign Ahora, recuerda que $mathbb Z$ significa el conjunto de números enteros . Si calcula la fórmula anterior cuando $n=0$, solo obtendrá la raíz principal, ya que el exponente se convierte en $mathrm e^0 = 1$.
Si en cambio lo calculas para $n=1$, obtienes algo más: beginalign sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi icdot1/3=sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi i/3 endalign Si conoce un poco sobre la función exponencial compleja, sabrá que $mathrm e^2pi i = 1$, por lo que si elevamos al cubo el valor anterior, obtenemos: beginalign (sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi i/3)^3 = xcdotmathrm e^2pi i = xcdot 1 = x endalign Entonces eso también fue una raíz cúbica de $x$.
¿Qué pasa con $ n = 2 $? beginalinear sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi icdot2/3=sqrt[3]xcdotmathrm e^4pi i/3 endalign Usando la misma fórmula $mathrm e^2pi i = 1$ que la última vez, obtenemos: begin alinear (sqrt[3]xcdotmathrm e^4pi i/3)^3 = xcdotmathrm e^4pi i = xcdotmathrm (e^2pi i) ^2 = xcdot 1^2 = x endalign ¡Otra raíz cúbica de $x$!
¿Qué pasa con otros valores de $n$? Dado que $n$ es un número entero, podemos escribirlo como $n = 3a+b$ para algunos otros números enteros $a$ y $b$, donde $b$ es $0$, $1$ o $2$. Ahora observe lo siguiente: beginalign sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi in/3 &= sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi i(3a+b)/3 \ &= sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi i(3a)/3cdotmathrm e^2pi ib/3 \ &= sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi iacdotmathrm e^2pi ib/3 \ &= sqrt[3]xcdot(mathrm e^2pi i)^acdotmathrm e^2pi ib/3 \ &= sqrt[3]xcdot1^acdotmathrm e^2pi ib/3 \ &= sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi ib/3 \ endalign Ahora, dado que $b$ es $0$, $1$ o $2$, cualquier otro valor de $n$ va a hacer que la fórmula resulte en una de las tres cosas que obtuvimos antes.
¿Son esas tres cosas de antes realmente diferentes? Da la casualidad de que podemos escribir lo siguiente: beginalign mathrm e^2pi i/3 &= -frac12 + ifracsqrt32\ mathrm e^4 pi i/3 &= -frac12 – ifracsqrt32 endalign Como podemos ver en las fórmulas anteriores, en realidad son diferentes. De esta información podemos concluir que la fórmula $sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi in/3$ donde $ninmathbb Z$ da tres raíces cúbicas diferentes de $x$, y como sabemos que hay exactamente tres, esto es todo las raíces cúbicas.
Notación alternativa y otras raíces
Algunas personas definen el número $omega$ de la siguiente manera: $$ omega = -frac12 + ifracsqrt32 $$ Ya que sabemos $mathrm e^2pi i/3 = – frac12 + ifracsqrt32$, esto significa que podemos reescribir $sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi in/3$ a lo siguiente: beginalign sqrt[3]xcdotmathrm e^2pi in/3 = sqrt[3]xcdotomega^n endalign Como es más corta, esta notación parece mejor a primera vista, pero en realidad hay una buena razón para usar la función exponencial: generaliza mejor. Echa un vistazo: beginalign y^29 &= x\ y &= sqrt[29]xcdotmathrm e^2pi in/29 & textwhere $ninmathbb Z$ endalign Ahora, si nos hubiésemos decidido por usar $omega$, habría tenido el mismo problema que nos encontramos al tratar de usar las raíces cúbicas, pero con la función exponencial, funciona para cualquier número natural.
Raíces cúbicas de números complejos, y ¿cuál es la raíz principal?
Cuando $x$ es un número real, es bastante fácil elegir una raíz cúbica principal: simplemente elige la que está en el eje real. De manera similar, para otras raíces, si el número raíz es impar, siempre hay exactamente uno en el eje real, y si el número raíz es par, siempre hay exactamente uno en el eje real positivo.
Pero, ¿y si $x$ no es un número real? Todavía hay 3 raíces cúbicas, pero ¿cuál es la principal? Puede inventar reglas adicionales que funcionen en algunos casos, por ejemplo, si $x$ es puramente imaginario, elija el que está en el eje imaginario.
Resulta que cuando trabajas con raíces de números complejos, siempre quieres hablar de todas las raíces, no de una en particular. Afortunadamente, las fórmulas que di al comienzo de esta publicación funcionan sin importar qué raíz cúbica use en lugar de $sqrt[3]x$, por lo que normalmente no define una “raíz principal” cuando trabaja con números complejos; solo dices $sqrt[3]x$ es uno de ellos, y usa la fórmula que te di para obtenerlos todos.
Comentarios adicionales
He ignorado cero en esta publicación. En el caso de cero, la fórmula siempre da $0$, sin importar qué $n$ elija, por lo que aún funciona como se esperaba.
De hecho, hay una manera de definir sin ambigüedades la raíz principal de cualquier número complejo $x$. Si deja que $arg(z)$ sea el argumento del número complejo $z$, entonces hay exactamente un número complejo $z$ tal que $0learg(z)<2pi/3$ y $ z^3 = x$. Funciona de manera similar para otras raíces de $x$.
Parece haber cierto consenso entre los humanos de que $$omega = frac-12 + fracsqrt-32$$ representa una raíz cúbica compleja de $1$. (Personalmente, a veces me gusta usar 垰 para este propósito, solo para ser críptico). Luego puedes usar $omega$ para ayudarte a representar las raíces cúbicas complejas de otros números reales. En un apuro, incluso puedes usar $w$, pero probablemente sería mejor escribir “omega”.
Por ejemplo, $root 3 of 2$ representa la raíz cúbica real de $2$, $(root 3 of 2) omega$ representa la raíz cúbica compleja en el cuadrante negativo-positivo del plano complejo, y $ (root 3 of 2) omega^2$ representa la raíz cúbica compleja en el cuadrante negativo-negativo del plano complejo.
O, para usar su ejemplo de $27$, tenemos $3$ como la raíz cúbica real, $3 omega$ y $3 omega^2$ son las raíces cúbicas complejas. Pruebe esta consulta en Wolfram Alpha: (3(-1/2 + sqrt(-3)/2)^2)^3y luego pruébalo después de eliminar ^2.
Al usar la fórmula cúbica (como la fórmula cuadrática, excepto las cúbicas), la primera raíz se encuentra usando la raíz cúbica principal, y en este caso es la que tiene la PARTE REAL MAYOR, si es un empate, se elige la uno con el imaginario más grande que está en el empate. La segunda raíz es la que tiene la mayor parte imaginaria que no es la raíz cúbica principal. El tercero es el otro. Si no hace esto, no obtendrá la respuesta correcta en la fórmula cúbica.
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