Hola, hallamos la respuesta a tu búsqueda, has scroll y la encontrarás un poco más abajo.
Solución:
Tu prueba es muy buena y está bien expresada. Creo que se puede hacer más corto y más estricto con un poco menos de exposición de lo obvio. Sin embargo, preferiría que los estudiantes se equivocaran por el lado de más en lugar de menos, así que no puedo regañarlos por ser minuciosos. Pero si quieres una crítica:
“Supongamos un número arbitrario n, donde n no es negativo. Si $sqrtn$ es un número entero, entonces $sqrtn$ debe ser racional. Dado que $sqrtn$ es un número entero, podemos concluir que n es un número cuadrado, es decir, para algún número entero a. Por lo tanto, si n es un número cuadrado, entonces $sqrtn$ es racional”.
Supongamos ahora que n no es un número cuadrado, queremos mostrar que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es irracional.
Todo esto se puede decir de manera más simple y argumentar que si $sqrtn$ es un número entero, podemos concluir que $sqrtn$ es racional o que $n$ es, por lo tanto, un cuadrado perfecto, es un poco torpe . Esas son definiciones y se sobreentienden. Sin embargo, muestra una buena perspicacia y comprensión para ser consciente de que uno puede asumir cosas y todas las afirmaciones necesitan justificación, por lo que realmente no puedo llamar a esto “incorrecto”.
Pero sería suficiente decir. “Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces $sqrtn$ es un número entero y, por lo tanto, racional, por lo que basta probar que si $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces $sqrtn$ es irracional.
Probamos por contradicción. Es decir, suponemos que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es racional. Entonces $sqrtn$=ab , donde a,b∈Z+,b≠0. También suponemos que a≠0, de lo contrario ab=0, y n será un número cuadrado, que es racional.
Terminológicamente, decir que “$n$ es un número cuadrado” significa que $n$ es el cuadrado de un número entero. Si $n = (frac ab)^2$ normalmente no nos referimos a $n$ como un cuadrado (aunque es “un cuadrado de un racional”). Nunca llamaremos a $13$ un cuadrado porque $13 = ( sqrt13)^2$.
Además, no hace la especificación habitual de que $a$ y $b$ no tienen factores comunes. Resulta que no era necesario, pero es un estándar.
Suponga que b=1. Entonces $sqrtn$=a , lo que muestra que n es un número cuadrado. Entonces b≠1. Como $sqrtn$>1, entonces a>b>1
Esto era redundante ya que $b=1 implica que $a/b$ es un número entero y suponemos que $n$ no es un cuadrado perfecto.
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Por el teorema de factorización única de números enteros, todo número entero positivo mayor que 1 se puede expresar como el producto de sus números primos. Por lo tanto, podemos escribir a como un producto de números primos y por cada número primo que existe en a, habrá un número par de números primos en a2. De manera similar, podemos expresar b como un producto de primos y por cada número primo que existe en b, habrá un número par de primos en b2
Bill Dubuque en los comentarios señaló que lo que quisiste decir fue “cada factor primo se elevará a cualquier potencia par”.
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Sin embargo, también podemos expresar n como un producto de números primos. Como n no es un número cuadrado, entonces existe al menos un número primo que tiene un número impar de números primos. Por tanto, existe al menos un primo en el producto de nb2 que tiene un número impar de primos. Dado que nb2=a2 , entonces esto contradice el hecho de que hay un número par de primos en a2 ya que un número no puede ser ni par ni impar.
Ídem:
En general, creo que su prueba es muy buena.
Pero debo señalar que hay uno más simple:
Suponga que $n = frac a^2b^2$ donde $a,b$ son números enteros positivos sin factores comunes (aparte de 1). Si $p$ es un factor primo de $b$ y $n$ es un número entero, se deduce que $p$ es un factor primo de $a^2$ y por lo tanto de $a$. Pero eso contradice que $a$ y $b$ no tienen factores comunes. Entonces $b$ no puede tener factores primos. Pero el único entero positivo sin factores primos es $1$ por lo que $b = 1$ y $n= a^2$ por lo que $sqrtn = a$. Entonces, para cualquier número entero, $n$ es un cuadrado perfecto con una raíz cuadrada entera, o $n$ no tiene una raíz cuadrada racional.
Y una pequeña advertencia: asumo que su clase o texto asume que todos los números reales tienen raíces cuadradas (y, por lo tanto, si no hay una raíz cuadrada racional, la raíz cuadrada debe ser irracional). Vale la pena señalar que es el resultado de un análisis real que hablar de una raíz cuadrada en realidad tiene algún sentido y que podemos reclamar cada número real positivo en realidad lo hace tienen el mismo valor de la raíz cuadrada. Pero eso probablemente esté más allá del alcance de este ejercicio.
Pero si quiero ser completamente preciso, usted (y yo) solo hemos demostrado que el entero positivo $n$ tiene una raíz cuadrada entera o no tiene ninguna raíz cuadrada racional. Lo cual es lo mismo que decir que si el entero positivo $n$ tiene una raíz cuadrada, la raíz es entera o irracional. Pero en realidad no hemos probado que el entero positivo $n$ realmente tenga alguna raíz cuadrada.
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