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Demostrar que la inversa (si la hay) de una matriz triangular inferior es triangular inferior

Eliana, parte de este staff, nos ha hecho el favor de escribir este enunciado porque conoce a la perfección este tema.

Solución:

Escribamos $$L^-1=[y_1:cdots:y_n],$$ donde cada $y_k$ es una matriz $ntimes 1$.

Ahora, por definición, $$LL^-1=I=[e_1:cdots:e_n],$$ donde $e_k$ es la matriz $ntimes 1$ con $1$ en la $k$ésima fila y $0$s en todas partes. Observe, sin embargo, que $$LL^-1=L[y_1:cdots:y_n]=[Ly_1:cdots: Ly_n],$$ entonces $$Ly_k=e_kqquad(1leq kleq n)$$

Por la proposición, dado que $e_k$ tiene solo $0$s por encima de la $k$ésima fila y $L$ es triangular inferior y $Ly_k=e_k$, entonces $y_k$ tiene solo $0$s por encima de la $k$ésima fila . Esto es true para todo $1leq kleq n$, entonces como $$L^-1=[y_1:cdots:y_n],$$ entonces $L^-1$ también es triangular inferior.

$$********$$

Aquí hay un enfoque alternativo (pero relacionado).

Observe que una matriz triangular inferior es no singular si y solo si tiene todas las entradas distintas de cero en la diagonal. Procedamos por inducción sobre $n$. El caso base ($n=1$) es simple, ya que todos los escalares son trivialmente “triangulares inferiores”. Ahora, supongamos que todas las matrices triangulares inferiores $ntimes n$ no singulares tienen inversas triangulares inferiores, y sea $A$ cualquier matriz triangular inferior $(n+1)times(n+1)$ no singulares. Entonces, en forma de bloque, tenemos $$A=left[beginarraycL & 0_n\hline x^T & alphaendarrayright],$$ donde $L$ es una matriz triangular inferior $ntimes n$ no singular, $0_n$ es la matriz $ntimes 1$ de $0$s, $x$ es una matriz $ntimes 1$, y $alpha$ es algún escalar distinto de cero. (¿Puedes ver por qué esto es true?) Ahora, en forma de bloque compatible, tenemos $$A^-1=left[beginarraycM & b\hline y^T & betaendarrayright],$$ donde $M$ es una matriz $ntimes n$, $b,y$ son matrices $ntimes 1$ y $beta$ algunos escalares. Si $I_n$ y $I_n+1$ denotan las matrices de identidad $ntimes n$ y $(n+1)times(n+1)$, respectivamente, tenemos $$I_n+1 =izquierda[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright].$$ Por lo tanto, $$left[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright]=I_n+1=A^-1A=izquierda[beginarraycML+by^T & M0_n+balpha\hline x^TM+alpha y^T & y^T0_n+betaalphaendarrayright]=izquierda[beginarraycML+by^T & alpha b\hline x^TM+alpha y^T & betaalphaendarrayright].$$ Dado que $alpha$ es un escalar distinto de cero y $alpha b=0_n$, entonces debemos tener $b=0_n$. Por lo tanto, $$A^-1=left[beginarraycM & 0_n\hline y^T & betaendarrayright],$$ y $$izquierda[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright]=izquierda[beginarraycML & 0_n\hline x^TM+alpha y^T & betaalphaendarrayright].$$ Como $ML=I_n$, entonces $M=L^-1$, y por hipótesis inductiva, tenemos que $M$ es entonces triangular inferior. Por lo tanto, $$A^-1=left[beginarraycM & 0_n\hline y^T & betaendarrayright]$$ también es triangular inferior, como se desee.

Suponga que tiene una matriz triangular inferior invertible $L$. Para encontrar su inversa, debe resolver la ecuación matricial $LX = I$, donde $I$ denota la matriz identidad $n$ por $n$.

Según cómo funciona la multiplicación de matrices, la columna $i^textth$ de $LX$ es igual a $L$ por la columna $i^textth$ de $X$. Para que $LX = I$, debe ser que las primeras entradas $i-1$ en la columna $i^textth$ de $LX$ sean todas cero. La sugerencia es que puede probar que esto implica que las primeras entradas $i-1$ en la columna $i^textth$ de $X$ deben ser todas cero. Para hacer esto, puede escribir explícitamente su cálculo, utilizando su suposición de que $L$ es triangular inferior. Obtendrá un sistema de ecuaciones lineales bastante fácil de analizar.

En forma simple, podemos escribir A = D*(I+L); donde A es la matriz triangular inferior, D es la matriz diagonal, I es la matriz identidad y L es la matriz triangular inferior con todos ceros en diagonal. Dado que $A^-1 = (I+L)^-1*D^-1$ y el inverso de D es simplemente el inverso del elemento diagonal. Y para n muy grande $L^-n = 0$ ya que solo tiene elementos triangulares inferiores. Y podemos escribir $(I+L)^-1 = I – L + L^2 – L^3 + …. (-1)^n*L^n$ que a su vez es una matriz triangular inferior.

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