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Solución:
Sea $g(x) = f(x) – f(0)$. Basta mostrar que $g$ (que también es convexa y cóncava, y satisface $g(0)=0$) es lineal. A continuación, observe que para $t > 1$, $x = (1/t) (tx) + (1 – 1/t) (0)$.
Eso debería darte un buen comienzo…
Creo que queda más claro cuando simplemente aplicamos la definición de convexidad y concavidad.
De la convexidad de $f$ tenemos para $x_1, x_2in mathbbR^n$ y $lambda in [0,1]$$$f((1-lambda)x_1 + lambda x_2) le (1- lambda)f(x_1)+lambda f(x_2)$$
y de manera similar para la concavidad tenemos $$f((1-lambda)x_1 + lambda x_2) ge (1- lambda)f(x_1)+lambda f(x_2)$$ Así se sigue que $$f ((1-lambda)x_1 + lambda x_2) = (1- lambda)f(x_1)+lambda f(x_2)$$
A menudo pensamos en $(1-lambda)x_1 + lambda x_2$ como un punto en el segmento de línea entre $x_1$ y $x_2$. Del mismo modo, desde arriba podemos ver que $f((1-lambda)x_1 + lambda x_2)$ se encuentra en el segmento de línea entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$. Dado que hemos elegido $x_1$ y $x_2$ arbitrariamente, comienza a ser evidente por qué $f$ es afín. Si recordamos, una función afín toma la forma $ax+b$ donde $a in mathbbR^n$ y $b in mathbbR$ que es una línea.
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