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Solución:
Al ver una matriz como una función (dada al multiplicar por la matriz), las definiciones se traducen en:
- El kernel es todo lo que la función asigna a cero.
- La imagen es todo lo que sale de la función.
- El rango es la dimensión de la imagen.
Para esto último, primero debes verificar que la imagen de una matriz sea un espacio vectorial.
¡Sin símbolos, las definiciones se vuelven innecesariamente largas! Pero, por solicitud:
(i) El núcleo de un mapa lineal es el conjunto de todos los puntos del dominio del mapa lineal tal que el mapa lineal asigna el cero de su codominio a cada uno de los puntos. (cf. El núcleo de una aplicación lineal $T$ es el conjunto de todos los puntos $x$ del dominio de $T$ tal que $T(x) = 0$).
(ii) La imagen (rango, más propiamente, se usará más adelante) de un mapa lineal es el conjunto de todos los puntos del codominio del mapa lineal tal que el mapa lineal asigna cada uno de los puntos a por lo menos un punto del dominio de el mapa lineal. (cf. El rango de un mapa lineal $T$ es el conjunto de todos los puntos $y$ del codominio de $T$ tales que $y = T(x)$ para algún $x$ en el dominio de $T$ .)
(iii) El rango de un mapa lineal es la dimensión del rango del mapa lineal.
Por supuesto, podemos simplificar (iii) asignando un símbolo al rango de $T$. Además, utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos podemos simplificar aún más (i) y (ii); por ejemplo: sean $V, W$ espacios vectoriales; sea $T: V to W$ lineal. Entonces el núcleo de $T$ se define como el conjunto $ x in V mid T(x) = 0_W $.
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