Solución:
La definición de Kuratowski surgió naturalmente de la idea de Kuratowski de representar cualquier orden lineal de un conjunto $ S $ en términos de conjuntos, no pares ordenados. La idea era que un orden lineal de $ S $ se puede representar mediante el conjunto de segmentos iniciales de $ S $. Aquí, “segmento inicial” significa un subconjunto no vacío de $ S $ cerrado bajo predecesores en el orden. Cuando se aplica al caso especial de conjuntos de dos elementos $ S $, esto da el par ordenado de Kuratowski.
Por supuesto, hay muchas funciones de emparejamiento, y todas tienen la propiedad crucial de que a partir del par $ (x, y) $, se pueden reconstruir tanto $ x $ como $ y $. Y aunque su pregunta ha sido respondida, permítame señalar que las cuatro definiciones de pares ordenados que usted considera tienen la propiedad de que el rango de von Neumann del par $ (x, y) $ es estrictamente mayor que los rangos de $ x $ y $ y $. Por lo tanto, para sus funciones, si $ x $ y $ y $ están en $ V_ alpha $, entonces solo se puede garantizar que el par $ (x, y) $ aparezca en $ V _ { alpha + 2} $.
Pero en realidad, esta característica de aumento de rango es a veces molesta, y ocasionalmente surge en el argumento de la teoría de conjuntos la necesidad o el deseo de una plano función de emparejamiento, una función de emparejamiento que no aumenta el rango de esta manera. Específicamente, lo que se desea es una función de emparejamiento $ langle x, y rangle $ tal que siempre que $ x, y in V_ alpha $ para $ alpha $ infinitos, también $ langle x, y rangle in V_ alpha $, para el mismo rango $ alpha $. (Tenga en cuenta que no se puede lograr esto para $ alpha gt 1 $ finitos, ya que hay demasiados pares para encajar). Con una función de emparejamiento tan plana, cada $ V_ alpha $ infinito se cierra bajo emparejamiento, y esto a veces es importante o al menos conveniente en argumentos inductivos, o en argumentos sobre cardinales fuertes $ alpha $ y en situaciones similares, donde uno quiere considerar solo conjuntos de un rango dado, pero también quiere usar pares.
Es un ejercicio divertido para demostrar que existen funciones de emparejamiento plano, y te animo a que lo pruebes por tu cuenta, antes de leer lo que escribo a continuación. Pero las definiciones son un poco más complicadas que las definiciones comparativamente simples que proporciona, ya que logran la propiedad de planitud. Como dice Hurkyl, en última instancia, solo nos preocupamos por la existencia de la función con las propiedades deseadas, más que por su naturaleza exacta.
Aquí hay una forma de construir una función de emparejamiento plana. Defina $ langle x, y rangle = x ^ 0 cup y ^ 1 $, donde $ x ^ 0 $ se obtiene reemplazando cada número natural $ n $ en cualquier elemento de $ x $ por $ n + 1 $ y agregando el objeto $ 0 $, mientras que $ y ^ 1 $ simplemente reemplaza $ n $ dentro de los elementos de $ y $ con $ n + 1 $. Por lo tanto, podemos decir a partir de cualquier elemento de $ x ^ 0 cup y ^ 1 $ si proviene de $ x $ o $ y $, mirando para ver si contiene $ 0 $ o no, y podemos reconstruir el conjunto sin modificar eliminando $ 0 $ y reemplazando todos $ n + 1 $ con $ n $ nuevamente, por lo que es una función de emparejamiento. Y se puede comprobar que $ langle x, y rangle $ tiene el mismo rango que el rango máximo de $ x $ y $ y $, si este máximo es infinito, por lo que esta es una función de emparejamiento plana, como se desee.
La forma en que se modelan los pares ordenados no es particularmente importante; lo que importa es la existencia de una función de emparejamiento $ (-, -) $ junto con las funciones $ text {primero} (-) $ y $ text {segundo} (-) $ que satisfagan las propiedades requeridas.
La definición que utilice solo importa durante un breve período entre la definición y el punto en el que se han demostrado sus propiedades, momento en el que olvida rápidamente los detalles de la definición, por lo que el único punto real de deliberar sobre las definiciones es hacer que este período sea lo más adecuado. indoloro como sea posible para los demás.
No he pensado en todas las posibilidades, pero ofreceré un ejemplo de que $ text {first} (-) $ es complicado de definir para su definición 1. La opción ‘obvia’ parece ser $$ z = text {first} (P) equiv z in P wedge existe a: z in a in P $$ que resulta depender del axioma de la fundación para estar bien definido. (considere un $ y $ que satisfaga $ y = {x, y } $) Yo, personalmente, tendría más confianza en estar en lo correcto si estuviera tratando de desarrollar las propiedades de los pares ordenados a partir de las definiciones 2 o 4, en lugar de 1 o 3.