Puede que se de el caso de que encuentres algún problema con tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes aplicar el código al trabajo final.
Solución:
El punto de la definición es extender la noción de la “transposición conjugada” para que tenga sentido en un espacio de producto interno arbitrario. No estoy seguro de lo que quiere decir con “esa definición se deriva de la definición del espacio del producto interno”. Sin embargo, creo que podría ser útil ver por qué si $V = Bbb C^n, W = Bbb C^m$ con el producto interior habitual y $T:V a W$ es el operador en $V$ definido por $T(x) = Ax$entonces el operador adjunto $T^*: W a V$ es $T^*(x) = A^*x$. En otras palabras, tomar el adjunto es “lo mismo que” tomar la transpuesta conjugada.
Dejar $A’$ denote la conjugada-transpuesta de $A$. Recuerde que el producto interno usual en $Bbb C^n$ es dado por
$$ langle x,yrangle = y’x = sum_k=1^n x_k bar y_k. $$
si definimos $T(x) = Ax$ y $S(x) = A’x$entonces encontramos que para $x en V$ y $y in W$tenemos
$$ langle T(x),y rangle = y'(Ax) = (y’A)x = (A’y)’x = langle x,S(y) rangle. $$
Entonces, $S$ es de hecho el operador adjunto a $T$.
El adjunto en los espacios de productos internos proviene de una construcción más general. Si $X$ y $Y$ son espacios de Banach y $T : X a Y$ es un operador lineal acotado, entonces $T$ induce un mapa del dual de $Y$ al doble de $X$eso es un $T^*:Y^*a X^*$ definido por
$T^*y^*(x)=y^*(T(x))etiqueta 1$
Así que si $matemáticas F$ es el campo escalar de los espacios $X$ y $Y$tenemos eso $T^*$ envía un arbitrario $y^*:Yto mathbb F$ a un $T^*y^*:Xamathbb F$que actúa de forma arbitraria $xen X$ como en $(1).$
La razón por la que esta definición es útil es que el conocimiento de las propiedades del espacio dual a menudo proporciona respuestas a preguntas sobre el espacio mismo.
Por supuesto, hay que comprobar que $T^*y^*$ es un operador lineal acotado. La linealidad es inmediata y la acotación se sigue del cálculo.
$|y^*(T(x))| leq | y^* | | T| | x| etiqueta2$
Para especializar esto en su caso, suponga $X=Y=V$ un espacio de producto interior y $T:Va V$ es un operador lineal acotado. Por el teorema de Riesz, existe una biyección
$vleftrightarrow langle cdot,vrangle textentre los elementos de V texty los de V^*tag 3$
Dejar $y,wen V$ ser los elementos correspondientes a $y^*$ y $T^*y^*$, respectivamente. Entonces, $langle T(v),yrangle=langle v,wrangle$. Pero, $T^*$ envía $y^*$ a $T^*y^*$ por lo que aplicando la correspondencia $(3)$tenemos $T^*y=w$de lo que se sigue que
$langle T(v),yrangle=langle v,T^*yrangle tag4$
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