Solución:
Hagamos esto pieza por pieza.
Primero, consideremos la primera torre, podemos colocarla en cualquier lugar del tablero, por lo que tenemos $ 8 ^ 2 = 64 $ opciones para eso.
Ahora, para el segundo, no podemos estar en la fila o columna del primero, por lo que nos deja con $ 7 ^ 2 = 49 $ opciones.
Luego, así sucesivamente, tenemos $ 6 ^ 2 = 36 $ para el tercero, $ 25 $ para el cuarto, y así sucesivamente $ dots $
Pero, sin embargo, debemos recordar que las torres no están etiquetadas, por lo que no importa específicamente la posición de una torre específica.
Por lo tanto, tenemos un total de $ frac {(8!) ^ 2} {8!} = 40320 $ formas.
Como tiene filas de $ 8 $ y torres de $ 8 $ y no puede haber dos torres en la misma fila, cada fila debe tener exactamente una torre.
Como tiene columnas de $ 8 $ y torres de $ 8 $ y no puede haber dos torres en la misma columna, cada columna debe tener exactamente una torre.
Entonces puede llegar a una configuración de torre colocando la primera torre en alguna columna de la primera fila, luego la segunda torre en alguna columna. otro columna de la segunda fila, y así sucesivamente. El número de configuraciones es, por lo tanto, el número de formas en que puede enumerar las columnas diferentes de $ 8 $ de modo que cada una de ellas esté cubierta y ninguna se repita. Este es el número de permutaciones de las columnas de $ 8 $, que es $$ 8! = 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 40320. $$
Para que dos torres se ataquen entre sí, deben compartir una fila o una columna. Para que dos torres no se ataquen entre sí, no deben compartir fila ni columna.
Se deben elegir 8 filas y 8 columnas una vez cada una. Se puede elegir un conjunto de ocho filas en $ binom {8} {8} = 1 $ formas y un conjunto de columnas se puede elegir en $ binom {8} {8} = 1 $ formas.
Los pares ordenados se pueden generar a partir de los dos conjuntos en $ 8! $ Formas.
Dada la primera coordenada del primer par ordenado (puede ser cualquier cosa wlog), hay $ binom {8} {1} $ formas de elegir la segunda coordenada para el primer par ordenado.
Dada la primera coordenada del siguiente par ordenado, hay $ binom {7} {1} $ formas de elegir la segunda coordenada.
Como $ binom {n} {1} = n $, el número total de formas de crear las coordenadas es $ n (n − 1) (n − 2) … (1) = n! $.
En nuestro caso, $ n = 8 $ así que hay $ 8! $ Formas de generar coordenadas válidas o formas de colocar las torres.
¡En total, hay $ binom {8} {8} 8! = 8! $ Formas de colocar las torres.