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Solución:
Considere un polígono regular con $n$ número de vértices $mathrmA_1, A_2,A_3, A_3, ldots, A_n-1$ & $mathrmA_n$
Número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono regular de n lados $$N=textnúmero de formas de seleccionar 3 vértices de n=colorbinomn3$$$$N=colorrojofracn(n-1)(n-2)6$$$forall\colorazulngeq 3$
Considere un lado $mathrmA_1A_2$ de n-polígonos regulares. Para obtener un triangulo de un solo lado $A_1A_2$ común (como se muestra en la figura 1 a continuación)
Une los vértices $A_1$ & $A_2$ a cualquiera de $(n-4)$ vértices es decir $A_4, A_5, A_6, ldots A_n-1$ para obtener triángulos con un solo lado común. Así hay $(n-4)$ diferentes triangulos de un solo lado $A_1A_2$ común. Del mismo modo, hay $(n-4)$ diferentes triangulos de un solo lado $A_2A_3$ común y así sucesivamente. Así hay $(n-4)$ diferentes triángulos con cada uno de $n$ lados comunes. Por lo tanto, número de triángulos $N_1$ que tiene un solo lado común con el del polígono $$N_1=text(Nº de triángulos correspondientes a un lado)text(Nº de lados)=colorazul(n-4)n$$
(Figura 2)
Ahora, une los vértices alternos $A_1$ & $A_3$ por una línea recta (azul) para obtener un triángulo $A_1A_2A_3$ con dos lados $A_1A_2$ & $A_2A_3$ común. Del mismo modo, une vértices alternos $A_2$ & $A_4$ para obtener otro triangulo $A_2A_3A_4$ con dos lados $A_2A_3$ & $A_3A_4$ común, etc. (como se muestra en la figura 2 anterior). Así hay $n$ pares de vértices alternos y consecutivos para obtener $n$ triángulos diferentes con dos lados comunes (Arriba fig-2 muestra $n$ S t. líneas de diferentes colores para unir vértices alternos y consecutivos). Por lo tanto, número de triángulos $N_2$ que tiene dos lados comunes con el del polígono $$N_2=colorazuln$$
Si $N_0$ es el número de triángulos que no tienen un lado común con el del polígono entonces tenemos $$N=N_0+N_1+N_2$$$$N_0=N-N_1-N_2$$$$=binomn3-(n-4)nn$$$$=colorfracn(n-1)(n-2)6-n^2+3n$$$$N_0=colorrojofracn(n-4)(n-5)6$$
La fórmula anterior $(N_0)$ es válido para polígono que tiene $n$ no. de los lados tal que $ colorazulngeq 6$
número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono de n lados $$= fracn(n-1)(n-2)6$$ es decir, selección de 3 puntos de n puntos = n(C)3 $implica$ también se puede escribir como la suma del número de triángulos formados en los siguientes tres casos,
1) No de triángulos con un solo lado común con el polígono, si tomamos un lado cualquiera de un polígono de n lados y unimos sus vértices a los vértices restantes, excepto los vértices adyacentes a los vértices de la línea tomada arriba, obtenemos triángulos con un solo lado como común, es decir, para 1 lado obtenemos (n-4) triángulos $implica$ n(n-4) triángulos de n lados. caso yo
2) No de triángulos con dos lados comunes, si tomamos un lado cualquiera de un polígono de n lados y unimos su vértice con su vértice opuesto se forma el triángulo requerido. Por lo tanto, no de triángulos = norte
caso II
3) triángulos sin lado común $$= texttotal – (Caso I + Caso II)$$ $$=left[fracn(n-1)(n-2)6right]-izquierda[n(n-4) + nright]$$ $$=fracn(n-4)(n-5)6$$
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