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Solución:
Cuando decimos que el electrón tiene “la mitad de espín”, nos referimos a la mitad del cuanto de momento angular, $hbar$. Un buen texto de mecánica cuántica u otra referencia te ayudará a deducir que el operador laplaciano se transforma en coordenadas esféricas como beginalign nabla^2 &= left(fracpartialpartial xright)^2 + left(fracpartialpartial yright)^2 + left(fracpartialpartial zright)^2 \ &= frac 1r^2frac parcialparcial rleft(r^2fracparcialparcial rright) + frac 1r^2 sin^2thetaleft(fracparcialparcial thetaright)^2 + frac 1r^2 sinphifracpartialpartialphileft(sinphifracpartialparcialthetaright) endalign Las partes angulares de este operador actúan sobre los armónicos esféricos para dar un valor propio $ell(ell+1)$ para el entero $ell$. Esto significa que el eficaz La forma del operador de energía cinética es beginalign frachbar^22mnabla^2 &= frachbar^22mr^2fracpartialpartial r left(r^2fracparcialparcial rright) + boxedfrachbar^22mr^2ell(ell+1) end align En el límite de $ell$ grande, el término en el recuadro es el mismo que la energía cinética orbital para una masa puntual $m$ que gira unos $r$ desde el centro de movimiento con un momento angular $Lsim ellhbar$.
Este argumento es lo que nos permite decir cosas como “$hbar$ es el cuanto del momento angular” o “el momento angular viene en bultos, y el tamaño de cada bulto es $hbar$”. Dado que $hbar$ es el solamente cuanto de momento angular, a veces solo contamos cuantos y dejamos la unidad fuera. Lo mismo que cuando alguien te cotiza un precio y te da el valor pero no la moneda (“Quito tu auto de esta grúa por cincuenta y cinco”).
El momento angular de giro cae naturalmente fuera de la cuestión de Dirac de una manera sorprendentemente elegante. Obtienes el mismo cuanto, $hbar$. Sin embargo, la ecuación de Dirac describe objetos cuyo momento angular intrínseco es $hbar/2$. Por lo tanto, la proyección $m_s$ del espín del electrón a lo largo de cualquier eje puede ser $pmfrac12hbar$, pero nunca cero.
Creo que esto podría aclarar su búsqueda de orientación sobre las reglas para sumar momentos angulares vectoriales.
Dado un operador de momento angular con componentes $S_1, S_2, S_3$ y relaciones de conmutación $[S_i, S_j] = sum_k epsilon_ijkS_k$, donde $epsilon_ijk$ son constantes de estructura del álgebra $mathfraksu(2)$, el operador Casimir $S^2 = S_1^2+S_2^ 2+S_3^2$ se puede diagonalizar simultáneamente con cualquiera de los componentes originales $S_j$ en sus estados propios $|psirangle$. Además, lo siguiente es válido: $$ S^2|psirangle = hbar^2 s(s+1)|psirangle qquad S_j|psirangle = hbar m_j|psirangle. $$ Se dice que el valor $s$ es el giro del estado, siendo $m_j$ su proyección en la dirección $j$. De acuerdo con las constantes de estructura y las álgebras de Lie, los operadores de momento angular se cierran, se permiten diferentes valores de $s$. En el caso de los electrones tenemos $s=1/2$.
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