Pudiera darse el caso de que encuentres algún fallo en tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes aplicar el código al proyecto final.
Solución:
El producto tensorial de dos espacios vectoriales es no un cociente del producto cartesiano de esos espacios. Es un cociente del espacio vectorial libre con base en el producto cartesiano. Es decir, $V otimes W$ es un cociente de un enorme espacio vectorial de dimensión infinita. Un espacio vectorial con base $$x_alpha ,$$ por lo que hay un elemento base para cada elemento de $V times W$ (por lo tanto enorme).
Si fijas las bases $v_i$ y $w_j$ de $V$ y $W$ entonces, por las relaciones por las que se cociente, el producto tensorial tiene como base esas $overlinex_ alpha$ (donde la línea superior significa el elemento del cociente representado por $x_alpha$) con $alpha = (v_i, w_j)$ para algunos $i, j$. Hay opciones de $dim V$ para $v_i$ y opciones de $dim W$ para $w_j$, por lo que hay opciones de $(dim V)(dim W)$ para $alpha$. Así $dim(V otimes W) = (dim V)(dim W)$.
Por otro lado el producto cartesiano $V times W$ tiene base $$ textpara todos i, j$$ y hay $dim V + dim W$ elementos en ese conjunto, entonces $dim(V times W) = dim V + dim W$ .
Dados dos espacios vectoriales sobre el mismo anillo $K$: $(V_1,+_1,*_1)$, $(V_2,+_2,*_2).$ El producto cartesiano de los dos espacios vectoriales es el nuevo espacio vectorial $(V_1veces V_2,+,*)$ con las nuevas operaciones $(x,y)+(z,w)=(x+_1z,y+_2w),$$alfa*(x,y)=(alfa*_1x,alfa*_2y)$ para cada $x,zen V_1,;;$$y,wen V_2$ y $alfaen K.$
El producto tensorial de los espacios vectoriales $V_1$ y $V_2$ es el conjunto de todas las aplicaciones lineales (en ambos argumentos) (mapeos) de $V_1veces V_2$ sobre $K;$ lo que significa $V_1otimes V_2={T:V_1times V_2mapsto K,;;T(alpha x+beta z,y)=alpha*T (x,y)+beta*T(z,y),;;T(x, rho y+sigma w)=rho*T(x,y)+sigma*T(x,w ps
La diferencia entre producto cartesiano y tensorial de dos espacios vectoriales es que los elementos del producto cartesiano son vectores y en el producto tensorial son aplicaciones lineales (mappings), estos últimos también son vectores pero estos aplicados sobre elementos de $V_1veces V_2$ da un $K-$número.